第22讲 函数与方程思想和数形结合思想.docVIP

专限时集训(二十二) [第22讲　函数与方程思想和数形结合思想] (时间：10分钟＋35分钟) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．已知一个三次项系数为1的三次函数，其图象与x轴两个交点的横坐标分别是0，，且x＝1为其一个极值点，那么这个三次函数的极大值是(　　) A．3 B．2 C．－2 D．－3 2．方程sin2x＋2sinx＋a＝0一定有解，则a的取值范围是(　　) A．[－3,1] B．(－∞，1] C．[1，＋∞) D．[－1,1] 3．函数y＝ln的图象为(　　) 图22－1 4．函数y＝的值域是________． 1．斜率等于1的直线被圆x2＋y2＝2所截得的弦长等于2，则该直线在x轴和y轴上的截距之和等于(　　) A. B．2 C．－2 D．0 2．若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x成立，则a的最小值是(　　) A．0 B．－2 C．－ D．－3 3．某中学的研究性学习小组为考察一个小岛的湿地开发情况，从某码头乘汽艇出发，沿直线方向匀速开往该岛，靠近岛时，绕小岛环行两周后，把汽艇停靠岸边上岸考察，然后又乘汽艇沿原航线提速返回．设t为出发后的某一时刻，S为汽艇与码头在时刻t的距离，下列图象中能大致表示S＝f(t)的函数关系的为(　　) 图22－2 4．已知y＝f(x)是最小正周期为2的函数，当x[－1,1]时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)(xR)图象与y＝|log5|x|| 图象的交点的个数是(　　) A．8 B．9 C．10 D．12 5．若a，b是正数，且满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________． 6．定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时f(x)＝则关于x的方程f(x)＝a(－1a1)的所有解之和为________．(用a表示) 7.证明：当正整数n8时，()(). 8．函数f(x)＝ax－＋lnx.当f(x)在x＝2，x＝4处取得极值时，若方程f(x)＝c在区间[1,8]内有三个不同的实数根，求实数c的取值范围(ln2≈0.693)． 专限时集训(二十二) 【基础演练】 1．B　【解析】 设这个三次函数的解析式为y＝x(x－)(x－b)，即y＝x3－(＋b)x2＋bx. y′＝3x2－2(＋b)x＋b，由x＝1时，导数等于零得b＝－.即函数的解析式是y＝x3－3x，不难求出这个函数的极大值点是x＝－1，极大值等于2. 2．A　【解析】 构造函数f(x)＝sin2x＋2sinx，则函数f(x)的值域是[－1,3]，因为方程sin2x＋2sinx＋a＝0一定有解，所以－1≤－a≤3，－3≤a≤1. 3．A　【解析】 易知2x－3≠0，考虑对称性，当x时，函数为减函数，所以选A. 4.　【解析】 函数y的几何意义是指坐标平面上定点A(3,2)与动点M(cosx，sinx)连线的斜率，而动点M的两坐标的平方和为1，动点M是坐标平面内单位圆上的点组成的，问等价于求定点A和单位圆上的动点连线斜率的取值范围．如图，函数y的值域的两个端点，就是过点A的单位圆的两条切线AM，AN的斜率，设切线方程为y－2＝k(x－3)，即kx－y－3k＋2＝0，圆心到直线的距离为＝1，解得k＝，故所求的函数值域为. 【提升训练】 1．D　【解析】 设直线方程为y＝x＋b，即x－y＋b＝0，由＝1，解得b＝±.当b＝时，直线在x轴上的截距为－，此时截距之和等于零；同理得当b＝－时，截距之和等于零． 2．C　【解析】 不等式化为a≥－，设f(x)＝－，易证f(x)在区间上单调递增，所以f(x)max＝－，所以，不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x成立的a的最小值是－. 3．C　【解析】 当汽艇沿直线方向匀速开往该岛时，S＝vt，图象为一条线段；当环岛两周时，S两次增至最大，并减少到与环岛前的距离S0；上岛考察时，S＝S0；返回时，S＝S0－vt′，图象为一条线段．所以选C. 4．C　【解析】 因函数y＝f(x)(xR)与y＝|log5|x||均为偶函数，故研究它们在y右侧交点情况即可．作函数图象如图所示，从图可知，当0x5时有四个交点，当x＝5时有一个交点，在x5时没有交点，故在y右侧交点个数为5，由对称性知，在y轴左侧交点个数也是5.则两个函数图象交点个数为10.选C. 5．[9，＋∞)　【解析】 方法1：ab＝a＋b＋3，a≠1，b＝0，从而a1或a－3.又a0，a1，a－10，所以ab＝f(a)＝a·＝(a－1)＋＋5≥9，当且仅当a－1＝，即a＝3时取等号，当1a3时，函数f(a)单调递减，当a3时函数f(a)单调递增，所以ab的取值范围是[9，＋∞)． 方法2：设ab＝t，则a＋b＝t－3，a，b可看成方程x2－(t－3)x＋t＝0的两个正根，从而有解得t≥9，即ab≥9. 方