微积分初步单元辅导二(导数微分及其应用).docVIP

《微积分初步》单元辅导二（导数微分及其应用） 微积分初步学习辅导 ——导数与微分部分 学习重难点解析 (一)关于导数的概念 函数的导数是一个增量之比的极限，即 我们把称为函数的平均变化率，把称为变化率，若存在则可导，否则不可导. 导数是由极限定义的，故有左导数和右导数.在点处可导必有函数在点处左右导数都存在且相等. (二)导数、微分和连续的关系 由微分的定义可知 (1)函数的可导与可微是等价的，即函数可导一定可微；反之可微一定可导. (2)计算函数的微分，只要计算出函数的导数再乘上自变量的微分即可；因此，我们可以将微分的计算与导数的计算归为同一类运算. (3)由定理知，连续是可导的必要条件，那么，函数可微也一定连续.反之不然，即连续函数不一定是可导或可微函数.(三)导数在点处的导数就是曲线在点（，处切线的斜率。于是，在点（， 处的切线方程为 (四)关于导数的计算 掌握导数的计算首先要熟记导数基本公式和求导法则.在我们这门课程中所学习的求导法则和方法有： (1)导数的四则运算法则； (2)复合函数求导法则； (3)隐函数求导方法. 对于上述法则和方法在实用中要注意其成立的条件. 在导数的四则运算法则中，应该注意乘法法则和除法法则，注意它们的构成形式并注意解题的技巧.例如，，求.这是一个分式求二阶导数的问题，形式上应该用导数的除法法则求解，但是，如果将函数变形为再求导数就应该用导数的加法法则了.假如我们掌握了一些解题的技巧，会使我们的运算变得简单还会减少错误. 复合函数求导数是学习的重点也是难点，它的困难之处在于对函数的复合过程的分解.由复合函数求导法则知，复合函数的导数为 在求导时将分解为(其中为中间变量)，然后分别对中间变量和自变量求导再相乘.那么如何进行分解就是解题的关键，一般的说，所设的中间变量应是基本初等函数或基本初等函数的四则运算，这样就会对于分别都要有导数公式或法则可求导.如果分解后找不到求导公式，则说明分解有误.例如函数，其分解为.于是分别求导为，，.相乘得到.有一种错误的分解是，这样在求导时会发现没有导数公式可以来求. 隐函数的特点是变量y与x的函数关系隐藏在方程中，例如，其中的不但是y的函数，还是x的复合函数.所以对于求导数时应该用复合函数求导法则，先对y的函数求导得，再乘以y对x的导数.由于y对x的函数关系不能直接写出来，故而只能把y对x的导数写为. 一般地说，隐函数求导数分为下列两步： ① 方程两边对自变量x求导，视y为中间变量，求导后得到一个关于的一次方程； ② 解方程，求出y对x的导数. 总之，导数公式和求导法则是要靠练习来熟悉和理解的，我们应该通过练习掌握方法并从中获得技巧. 典 型 例 题 1 求下列函数的导数或微分： (1)设，求. (2)设，求 (3)设，求. 这三个函数都是由基本初等函数经过四则运算得到的初等函数，求导或求微分时，需要用到导数基本公式和导数的四则运算法则.对于(1)先用导数的加法法则，再用导数基本公式；对于(2)，可以先用导数除法法则，再用基本公式；但注意到(2)中函数的特点，先将函数进行整理，，则可用导数的加法法则求导，得到函数的导数后再乘以，得到函数的微分；对于(3)用导数除法法则，再用基本公式. (1) = = = (2)因为 所以， 于是 . (3)因为 = = 所以= 在运用导数的四则运算法则应注意： ① 在求导或求微分运算中，一般是先用法则，再用基本公式； ② 把根式写成幂次的形式，这样便于使用公式且减少出错； ③ 解题时应先观察函数，看看能否对函数进行变形或化简，在运算中尽可能的避免使用导数的除法法则. 如例1中的(2)小题，将变形为后再求导数，这种解法比直接用除法法则求解要简便且不易出错. ④导数的乘法和除法法则与极限相应的法则不同，运算也相对复杂得多，计算时要细心. 2 求下列函数的导数或微分： (1) 设，求. (2) 设，求. (3) 设，求. 采用复合函数求导法则，所设的中间变量应是基本初等函数或基本初等函数的四则运算.求导时，依照函数的复合层次由最外层起，向内一层层地对中间变量求导，直至对自变量求导为止. (1)设，利用复合函数求导法则，有 代回还原得 在基本掌握复合函数求导法则后，也可以不写出中间变量，如下解法： (2)设，利用复合函数求导法则，有 代回还原得 或着 (3)设，利用复合函数求导法则和导数的四则运算法则有， 代回还原得 或着 求下列方程所确定的隐函数的导数或微分： (1)，求； (2) ，求. 隐函数的特点是：因变量y与自变量x的对应关系是隐藏在方程