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第六讲 常微分方程 Ⅰ. 考试要求 1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念． 2 ．掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的解法． 3 ．理解线性微分方程解的性质及解的结构． 4 ．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法． 5 ．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常 系数非齐次线性微分方程． 6 ．会用微分方程解决一些简单的应用问题． 注： (1) 数一要求：会解伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程； ( )n ′′ ′ ′′ ′ y f x y ( ) f, x y ( y, ) f, y y ( , ) 会用降阶法解下列形式的微分方程： ；会解某些 高于二阶的常系数齐次线性微分方程；会解欧拉方程． ( )n ′′ ′ y f x y f x y ( ) , ( , ) (2) 数二要求：会用降阶法解下列形式的微分方程： ， ′′ ′ y f y y ( , ) ；会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程． (3) 数三要求：了解差分与差分方程及其通解与特解等概念，了解一阶常系数线性差分 方程的求解方法，会用微分方程求解简单的经济应用问题． Ⅱ. 考试内容 一．基本概念 1. 表示未知函数, 未知函数的导数和自变量之间的关系的方程称为微分方程. ( , F, x, y y ) y 0 ′L( )n 一般形如 . 2. 微分方程中导数的阶数的最大值称为微分方程的阶. 3. 如果使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解. 4. 如果解中有任意常数, 且任意常数的个数等于微分方程的阶数, 则称其为微分方程 的通解. 5. 对于一阶(或二阶)微分方程, 给定t t0 时的函数值(或再给出此时的导数值), 则可 将任意常数唯一确定. 这个唯一解称为特解. 确定特解的条件称为初值条件(定解条件). 二．一阶微分方程 形式:y ′ f (x , y ) , dy f (x, y ) , P (x, y )dx +Q (x, y )dy 0 dx 1 ．可分离变量方程：f x (dx) g y (dy) 通解为 ． f x dx ∫( g) y dy ∫(C) + dy y 2 ．齐次方程： (f ) dx x