第三章中值定理与导数的应用教案.pdfVIP

高等数学阶段小结 中值定理与导数的应用 第三章 中值定理与导数的应用 学习内容和要求 1．理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。 2 ．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最 小值的求法及其简单应用。 3 ．会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘 函数的图形。 4 ．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 5 ．知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。 6 ．知道方程近似解的二分法及切线法。 学习重点 1 、罗尔定理、拉格朗日中值定理； 2 、函数的极值，判断函数的单调性和求函数极值、最值的方法； 3、函数图形的凹凸性；拐点及其求法 4 、洛必达法则。 内容提要 一、微分中值定理 定理 1(罗尔定理) 设函数f (x)满足下列三个条件： (1)在闭区间[a,b]上连续； (2)开区间(a,b)内可导； (3)f (a) f (b)； 则在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f ′(ξ) 0 ． 定理 2(拉格朗日中值定理) 设函数f (x)满足下列条件： (1)在闭区间[a,b]上连续； (2)在开区间(a,b)内可导， 则在(a,b)内至少存在一点ξ,(ξ与 a,b 有关)，使得 f b −f a ( ) ( ) f (ξ) ． b −a 推论 1 如果f ′(x ) ≡0 ,x ∈(a,b)，则f (x)≡C (x ∈(a,b), C 为常数)，即在(a,b)内f (x)为一个常数 函数． 高等数学（赵） 高等数学阶段小结 中值定理与导数的应用 ′ ′ 推论 2 如果f (x ) ≡g (x ) , x ∈(a,b)，则f (x) g (x)+C, (x ∈(a,b), C 为常数)． 二、洛必达法则 0 定理 1 洛必达(L’Hospital)法则I （ 型未定式）设函数f (x)和 g (x)满足： 0 (1) lim f (x ) =0， lim g (x ) =0； x →x 0 x →x 0 ′ (2) 函数f (x),g (x)在 x 的某个邻域内（点x 可除外）可导，且g (x ) ≠0 ； 0 0 (3) lim f (x ) A (A 可以是有限数，也可为∞, +∞, -∞)， x →x 0 g (x ) 则 l