导数的应用2(两个极值点)求字母的取值范围.docVIP

导数的应用2（两个极值点） （求字母取值范围） 1. 石景山20．（本题满分13分）（10一模） 已知函数. （Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围； （Ⅲ）设函数，若在上至少存在一点，使得＞成立，求实数的取值范围. 答案：解：（Ⅰ）当时，函数， ． 　　　　　　　　　　　 ， 曲线在点处的切线的斜率为． …………1分 从而曲线在点处的切线方程为， 即． ………2分 （Ⅱ）． …………3分 令，要使在定义域内是增函数，只需在内恒成立. ……………4分 由题意＞0，的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，∴， 只需，即， ∴在内为增函数，正实数的取值范围是. ………6分 （Ⅲ）∵在上是减函数， ∴时，； 时，，即， ……7分 ①当＜0时，，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在轴的左侧，且，所以在内是减函数． 当时，，因为，所以＜0，＜0， 此时，在内是减函数． 故当时，在上单调递减，不合题意； ……………………9分 ②当0＜＜1时，由， 所以． 又由（Ⅱ）知当时，在上是增函数， ∴＜，不合题意； ……………11分 ③当时，由（Ⅱ）知在上是增函数，， 又在上是减函数， 故只需＞，， 而，， 即 ， 解得＞ ， 所以实数的取值范围是. ……………………13分 2. 丰台18．. （Ⅰ）当a=0时，求函数f(x)的图像在点A(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）若f(x)在R上单调，求a的取值范围； （Ⅲ）时，求函数f(x)的极小值。 答案：解: （Ⅰ）当a=0时，,………………2分 ,, ∴函数f(x)的图像在点A(1,f(1))处的切线方程为y-3e=5e(x-1), 即5ex-y-2e=0 …………………………………………………………4分 （Ⅱ）, 考虑到恒成立且系数为正， ∴f(x)在R上单调等价于 恒成立. ∴(a+2)2-4(a+2)(0, ∴-2(a(2 ， 即a 的取值范围是[-2，2]，……………………8分 （若得a的取值范围是（-2，2），可扣1分） （Ⅲ）时, , ………………………………………………………………10分 令，得，或x??， 令，或x??， 令????????????????????………………………………??分 X 1 ) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 所以，函数f(x)的极小值为f(1)= ……………………………………14分 3、(2011朝阳二模理18)（本小题满分13分） 设函数，. （Ⅰ）若，求函数在上的最小值； （Ⅱ）若函数在上存在单调递增区间，试求实数的取值范围； （Ⅲ）求函数的极值点. 解：（Ⅰ）的定义域为. ……………………………1分，所以在上是增函数， 当时，取得最小值. 所以在上的最小值为1. ……………………………3分 （Ⅱ）解法一： 设， ……………………………………4分 依题意，在区间上存在子区间使得不等式成立. ……………5分 注意到抛物线开口向上，所以只要，或即可 ……………………………………6分 由，即，得， 由，即，得， 所以， 所以实数的取值范围是. ……………………………………8分 解法二：， ……………………………4分上存在子区间使不等式成立. 又因为，所以. ……………………………………5分 设，所以小于函数在区间的最大值. 又因为， 由解得； 由解得. 所以函数在区间上递增，在区间上递减. 所以函数在，或处取得最大值. 又，，所以， 所以实数的取值范围是. ……………………………………8分 （Ⅲ）因为，令 ①显然，当时，在上恒成立，这时，此时，函数没有极值点； ……………………………………9分时， （ⅰ）当，即时，在上恒成立，这时，此时，函数没有极值点； ……………………………………10分 （ⅱ）当，即时， 易