第六章不等式介绍.docVIP

第六章“不等式”简介 颜其鹏 　　《全日制普通高级中学教科书(试验本)·数学》第二册(上)的第六章内容为不等式，是根据《全日制普通高级中学教学大纲(供试验用)》(以下简称新大纲)必修课的不等式部分编写的。 　　本章教材是在初中介绍了不等式的概念，学习了一元一次不等式，一元一次不等式组的解法，高一学习了一元二次不等式，简单的分式不等式和含绝对值不等式的解法的基础上，研究了不等式的性质，不等式的证明和一些不等式的解法。 　　本章教学约需16课时，具体分配如下(仅供参考)： 　　6．1不等式的性质约3课时 　　6．2算术平均数与几何平均数约2课时 　　6．3不等式的证明约5课时 　　6．4不等式的解法举例约2课时 　　6．5含有绝对值的不等式约2课时 　　小结与复习约2课时 　　一、内容与要求 　　不等式主要研究数的不等关系。它与数、式、方程、函数、三角等有密切的联系，在解决各类实际问题时也有广泛的应用。因此，不等式是进一步学习数学的基础，是掌握现代科学技术的重要工具。 　　(一)本章的主要内容是不等式的基本性质，不等式的证明，一些不等式的解法和含有绝对值不等式的定理等 　　与现行高中教材“不等式”相比，本章的内容有如下的变化。 　　l.解一元二次不等式，解简单的分式不等式和解简单的绝对值不等式等内容移到高一(上)第一章“集合与简易逻辑”中介绍。 　　2.删去了三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理及其应用。 　　3.删去了用数学归纳法证明不等式。 　　4.删去了解指数不等式和对数不等式。 　　5.增加了一些利用不等式解决实际问题的例习题。 　　(二)章头引言安排了一个实际问题——求一个长方体无盖贮水池的最低总造价。这个问题是一个求函数的最小值的问题，可以用函数的知识来解决，但如果用算术平均数与几何平均数的定理，则很容易。 　　第一小节是“不等式的性质”。教科书首先通过数形结合，给出了比较实数大小的方法，在这个基础上，给出了不等式的性质，一共讲了五个定理和三个推论，并给出了严格的证明。不等式的其他性质，都可由它们推导出来，另外，本小节还增加了两个利用不等式的性质证明不等式的例题，这一方面有利于学生运用、掌握不等式的性质及其推论，另一方面，也为学生以后学习不等式的证明打下了基础。 　　第二小节是“算术平均平均数与几何平均数”。教科书首先证明了一个重要的不等式a2+b22ab，通过这一公式，得出了两个正数的算术平均数与几何平均数的定理，最后，通过几个例题，说明此定理在解决数学问题和实际问题中的应用。 　　第三小节是“不等式的证明”。教科书通过七个例题分别介绍了证明不等式的三种基本方法——比较法、综合法和分折法。 　　第四小节是“不等式的解法”。教科书通过例1、例2，复习、总结了一元二次不等式、一元二次不等式组，简单的含有绝对值的不等式、简单的高次不等式和分式不等式的解法，通过例3，介绍了简单的无理不等式的解法。 　　第五小节是“含有绝对值的不等式”。在这一小节里，教科书介绍了含有绝对值的不等式的一个定理及其证明，并给出了它的两个推论，在例题中，介绍了它们的应用。 　　(三)本章的教学要求 　　1．理解不等式的性质及其证明。 　　2．掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理(不扩展到三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理)，并会简单的应用。 　　3．掌握分析法、综合法、比较法等几种常用方法证明简单的不等式。 　　4．掌握某些简单不等式的解法。 　　5．理解不等式 　　 　　二、本章的特点 　　(一)前后呼应，注意知识之间的联系 　　本章内容，与初中、高一所学过的实数、集合、方程、函数、三角、平面几何等内容都有着密切的联系，是中学阶段所学过的不等式内容的系统总结，因此，在编写本章教材时，注意了前后呼应和知识的整体性，例如：章前引例，就是运用不等式的知识解决函数问题的例子。 　　在“不等式的性质”一节中，联系了实数和数轴的对应关系、比较实数大小的方法，复习了初中学过的不等式的基本性质。 　　在“不等式的解法举例”中，例1、例2一方面呼应以前学过的解一元一次不等式、一元二次不等式、一元二次不等式组、简单的分式不等式和简单的含绝对值不等式，是解这些不等式的方法的总结，另一方面，还给出了解简单的一元高次不等式的方法，等等。 　　(二)突出重点，把握难点，抓住关键 　　本章内容中，不等式的证明和不等式的解法是重点，不等式的性质及其证明，不等式的证明是难点；掌握不等式的性质是学好本章的关键。 　　为了突出本章的重点，把握难点，本章一开始就对不等式的性质进行了较为严格的证明，并增加了利用不等式的性质证明不等式的两个例子；同时，在证明不等式的性质时，取消了学生较难理解的推出符号，改为较为通俗的叙