北师大版高中数学(必修4)2.3从速度的倍数到数乘向量教案.docVIP

2-3从速度的倍数到数乘向量 一、教学目标： 1.知识与技能 （1）要求学生掌握实数与向量积的定义及几何意义. （2）了解数乘运算的运算律，理解向量共线的充要条件。 （3）要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；或一个向量分解为两个向量。 （4）通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。 2.过程与方法： 教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积（强调：1．“模”与“方向”两点) 2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律）），在此基础上得到数乘运算的几何意义；通过正交分解得到平面向量基本定理（定理的本身及其实质）。为了帮助学生消化和巩固相应的知识，教材设置了几个例题；通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力. 3.情感态度价值观 通过本节内容的学习，使同学们对实数与向量积以及平面向量基本定理有了较深的认识，让学生理解和领悟知识将各学科有机的联系起来了，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，有助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神. 学法：(1)自主性学习+探究式学习法： (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【探究新知】 1．思考: （引入新课）已知非零向量 作出++和(()+(()+(() ==++=3 ==(()+(()+(()=(3 讨论：① 3与方向相同且|3|=3|| ② (3与方向相反且|(3|=3|| 2．从而提出课题：实数与向量的积；实数λ与向量的积，记作：λ 定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ ①|λ|=|λ||| ②λ0时λ与方向相同；λ0时λ与方向相反；λ=0时λ=（请学生自己解释其几何意义） [展示投影]例题讲评（学生先做，学生评，教师提示或适当补充） 例1.（见P96例1）略 [展示投影] 思考：根据几何意义，你能否验证下列实数与向量的积的是否满足下列运算定律（证明的过程可根据学生的实际水平决定） 结合律：λ(μ)=(λμ) ① 第一分配律：(λ+μ)=λ+μ ② 第二分配律：λ(+)=λ+λ ③ 结合律证明： 如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则①式成立 如果λ(0，μ(0，(有：|λ(μ)|=|λ||μ|=|λ||μ||| |(λμ)|=|λμ|| |=|λ||μ||| ∴|λ(μ)|=|(λμ)| 如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与同向； 如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与反向。 从而λ(μ)=(λμ) 第一分配律证明： 如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则②式显然成立 如果λ(0，μ(0，( 当λ、μ同号时，则λ和μ同向， ∴|(λ+μ)|=|λ+μ|||=(|λ|+|μ|)|| |λ+μ|=|λ|+|μ|=|λ|||+|μ|||=(|λ|+|μ|)|| ∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与同向 即：|(λ+μ)|=|λ+μ| 当λ、μ异号，当λμ时 ②两边向量的方向都与λ同向 当λμ时 ②两边向量的方向都与μ同向 还可证：|(λ+μ)|=|λ+μ| ∴②式成立 第二分配律证明： 如果=，=中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立 当(，(且λ(0，λ(1时 1(当λ0且λ(1时在平面内任取一点O， 作= = =λ =λ 则=+ λ+λ 由作法知：∥有(OAB=(OA1B1 ||=λ|| ∴λ ∴△OAB∽△OA1B1 ∴λ (AOB=( A1OB1 因此，O，B，B1在同一直线上，||=|λ| 与λ方向也相同 λ(+)=λ+λ 当λ0时 可类似证明：λ(+)=λ+λ ∴ ③式成立 【探究新知】（师生共同分析向量共线的充要条件） 若有向量(()、，实数λ，使=λ 则由实数与向量积的定义知：与为共线向量 若与共线(()且||：||=μ，则当与同向时=μ；当与反向时=(μ 从而得：向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ. [展示投影]例题讲评（师生共同分析，学生动手做） 例2. 例3.如图：，不共线，P点在AB上，求证：存在实数 使 （证明过程与P97例3完全类似；略） 思考：由本例你想到了什么？（用向量证明三点共线） 【巩固深化，加强基础】 1.见P8