高考数学分类专题复习之04 导数及其应用(理科).docVIP

第四讲 导数及其应用（2） ★★★高考在考什么 【考题回放】 1．已知对任意实数，有，且时，，则时（ B ） A． B． C． D． 2．曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ D ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 3．设在内单调递增，，则是的（　B　） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 4．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ D ） 5．函数的单调递增区间是＿＿＿＿． 6．若直线y=x是曲线y=x3-3x2+ax的切线，则a= ； ★★★高考要考什么 导数的定义： 导数的几何意义： 函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率； （2）函数在点处的导数，就是物体的运动方程在时刻时的瞬时速度； 3．要熟记求导公式、导数的运算法则、复合函数的导数等。尤其注意：和。 4．求函数单调区间的步骤：1）、确定f(x)的定义域，2）、求导数y′，3）、令y′0(y′0),解出相应的x的范围。当y′0时，f(x)在相应区间上是增函数；当y′0时，f(x)在相应区间上是减函数 5．求极值常按如下步骤：① 确定函数的定义域；② 求导数；③ 求方程=0的根及导数不存在的点，这些根或点也称为可能极值点；④通过列表法, 检查在可能极值点的左右两侧的符号，确定极值点。 6．设函数f(x)在[a,b]上连续,在（a,b）内可导，求f(x)在[a,b]上的最大（小）值的步骤如下：(1)求f(x)在(a,b)内的极值，(2)将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 7．最值（或极值）点必在下列各种点之中：导数等于零的点、导数不存在的点、端点。 ★★★ 突 破 重 难 点 【范例1】已知函数在处取得极值. （1）讨论和是函数f(x)的极大值还是极小值； （2）过点作曲线y= f(x)的切线，求此切线方程. （1）解：，依题意，，即 解得. ∴. 令，得. 若，则，故 f(x)在上是增函数， f(x)在上是增函数. 若，则，故f(x)在上是减函数. 所以，是极大值；是极小值. （2）解：曲线方程为，点不在曲线上. 设切点为，则点M的坐标满足. 因，故切线的方程为 注意到点A（0，16）在切线上，有 化简得，解得. 所以，切点为，切线方程为. 【点晴】过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键. 【范例2】（安徽理）设a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x0）. （Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当x1时，恒有xln2x－2a ln x＋1. 解：（Ⅰ）根据求导法则有， 故， 于是， 列表如下： 2 0 极小值 故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值． （Ⅱ）证明：由知，的极小值． 于是由上表知，对一切，恒有． 从而当时，恒有，故在内单调增加． 所以当时，，即． 故当时，恒有． 【点晴】本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力． 【范例2】已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．（I）用表示，并求的最大值； （II）求证：（）． 解：（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同． ，，由题意，． 即由得：，或（舍去）． 即有． 令，则．于是 当，即时，； 当，即时，． 故在为增函数，在为减函数， 于是在的最大值为． （Ⅱ）设， 则． 故在为减函数，在为增函数， 于是函数在上的最小值是． 故当时，有，即当时，． 【点晴】本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力． 变式：已知函数. （1）求函数y= f(x)的反函数的导数 （2）假设对任意成立，求实数m的取值范围. 解：（1）； （2） 令： 所以都是增函数.因此当时，的最大值为的最小值为而不等式②成立当且仅当即，于是得 解法二：由得 设 于是原不等式对于恒成立等价于 ③…7分 由，注意到 故有，从而可均在 上单调递增，因此不等式③成立当且仅当 即 【点晴】求参数的取值范围，凡涉及函数的单调性、最值问题时，用导数的知识解决较简单.