平稳过程的谱分析.docVIP

第二章 平稳过程的谱分析 §1谱理论简介 我们知道，由Wold分解定理，一个平稳过程可以找到一个平稳的来近似。且已知，当，我们可以一致的估计模型中的未知参数，并由此来把握平稳过程。 现在，我们换一个角度看，把所有二阶矩平稳过程看成为一个Hilbert空间，那么，由Hilbert空间的谱表示定理，任何一个二阶矩平稳过程都可以表示成为一个右连续的正交增量过程的R—S积分，即，，。满足： ， ，。（正交增量性） ， ，且右连续是指均方收敛，即，，。（ 参见MIT教本） 将改写成，。定义 ，。那么由的正交增量性和右连续性，知是一个上的非减右连续的函数。称为的谱分布函数。又将写成，，则就称为的谱密度函数。注意，或是由唯一决定的，也就是由唯一决定的。这里唯一性指的是几乎处处唯一。 反过来也正确。任给一个谱密度函数或谱分布函数，可以决定一个唯一的右连续的正交增量过程，，并由决定一个唯一的平稳过程。所以，如果我们知道某一平稳过程的谱密度函数，那么也就等于我们把握了这个平稳过程。物理或工程上常理解成频率（完成一个周期所需的时间），所以，谱分析就是通过了解频率也称周期成分来把握这个平稳过程。请看例： ，， 。是不相关的随机变量，有期望0和方差。那么这个过程是一个平稳过程。有，，， 。如果，令，那么，就可以形式的写成上述的R—S积分，。 注：如果是常数，则是一个t的函数。可认为是加载在周期函数上的信号。如果受到干扰，，，则是随机变量。就是一个随机过程。这里是任意固定的，称为基频，常称为的一个周期成分。 可以扩大有更多的周期成分。令，。这里是两两不相关的白噪声，且。再令， ，。则是一个有J个成分且第j个成分有基频的平稳过程。简单计算有，，= ，。这说明，的方差是各个周期成分的方差的和，每个成分方差称为对总方差的贡献。的协方差是与时间长度k和不同基频有关的常函数。再令，，。又假定，，可以证明仍是一个平稳过程。又令，，这是一个关于的右连续的跳跃函数，有，，，对所有j成立。如果按大小排成一列，，那么，或如图所示： 于是就可以写成R—S积分的形式，。并按定义可以求得它的谱分布函数和谱密度函数和。所以谱密度类似于一个概率分布列。且= 特别，。反之，有逆转公式： 有了逆转公式，对平稳过程我们可以绕开正交增量过程，直接从平稳过程的协方差序列来定义它的谱密度函数。 定义：设是一个二阶矩平稳过程。，无妨设为0，。那么定义的谱密度函数为，对， 所以，的谱是的自协差系数序列的付立叶变换。可以证明，有如下性质： 1），关于0点对称。 2），非负。 3），逆转公式。 （参见MIT教本） §2的谱密度及线性滤波 先考虑白噪声的线性过程的谱密度，，，。引进的自协差生成函数，。因为，。于是有， 。 由，。再由谱密度的定义，的谱密度为： 。特别，，得，， 。所以，白噪声的谱是一个常数。这个性质常用来检验某一序列是否是噪声。 容易推出ARMA过程的谱密度。设，由平稳性，有，。所以，。特别，过程，有。所以， 。从中知，当， ，是的减函数。的低频成分比的高频成分对的方差影响更大。反之，的高频成分比的低频成分对的方差影响更大。故在以时间为横轴的显示图上，的过程比的过程看上去要显得更“光滑”些。过程的谱密度请参见Sargent《宏观经济理论》第六章。 接下来的问题是如何从中把有用的信息抽取出来，或者把不重要的信息过滤掉。准确的提法是，已知平稳序列，对实施一加权平均，得一新的时间序列： 。称作用在 上的算子为线性滤波。特别，线性滤波称为对称的，如果且。 为要看出线性滤波的效果，设和分别是和的谱密度函数，那么应有：。称为滤波的增益。可知，如果，则频率为的方差成分相对于频率为的方差成分是放大的。反之，则是缩小的。又将写成极坐标的形式，，称为滤波的位相。例如，，则，。所以，， 。所以，。表示滞后3个周期。一般，用表示滞后多少时间单位。适当的选择，可以使得不同频率的方差成分变得相对的重要。我们看几个实用的线性滤波。 滑动平均滤波，，，。 那么，。知权变换函数是的减函数，故该滤波有保留低频成分减弱高频成分的特征。这是一个对称滤波。显见，对称滤波有性质，和为实数。 差分滤波，。 所以，。知权变函数是的增函数，且在=0取0值。所以，差分滤波有除去低频成分的作用，常用于去趋势。 HP滤波， 。 HP滤波有二大功能，它既能获得的趋势成分也能去趋势得到周期成分。设是的趋势成分，定义为下列方式的解： 这里是一个对趋势变化的变化的惩罚系数。如是产出的对数值，那么就是趋势成分的增长率，就是增长率的变化。从上述公式看出，当，选择为一直线，为0，求趋势就是OLS方法。当，意味着，没有惩罚，无法抽取趋势。一般通过外生方式获取。（Cabilation）例如，HP滤波倡导者