3第三章 答案2012.docVIP

第一节 微分中值定理 1． （1） （2） 3； ． 2． (1) B; (2) C; (3) B 3．证明： 令，则，所以为一常数． 设，又因为， 故 ． 4．证明：由于在上连续,在可导,且，根据罗尔定理知，存在， 使． 同理存在，使． 又在上 符合罗尔定理的条件，故有，使得． 5． 证明：设，　则，根据零点存在定理至少存在一个， 使得．另一方面，假设有，且，使，根据罗尔定理，存在使，即，这与矛盾．故方程只有一个实根． 6.（2009年数一）（1）略 (2)提示：，在由拉格朗日中值定理， 7. 提示：只需令，利用柯西中值定理即可证明. 8.（2011年考研题）提示：原不等式可化为， 对在上应用拉格朗日中值定理即可. 9.（2010年考研题）证明：设函数，由题意知 在和上分别应用拉格朗日中值定理，有 两式相加，得 即 第二节 洛毕达法则 1．（1）；（2） ；（3） 1 . ２．（1）A； （2） C．? 3．（1） 解： ===． （2）解：＝＝． （3）解：＝＝． （4）解： （5）解：求归结为求 所以 （6）解：原式 （7） （8） 解：， 令 所以原式= 第三节 泰勒公式 １．解： ， 同理得，且． 由泰勒公式得：=． 2．解：因为，所以 ==． 3．解：设，则，． ， 故 ， 则 为所求． 4．解：因为 ， 所以 ==， 故 ． 5．证明： 因为 ，所以． 由麦克劳林公式得： （介于0与 之间），因此 ，由于，故． 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 1． （1）增加；（2）；（3） ，，曲线的凹区间为，凸区间为． 2．（1）A ；（2）D；（3）B. 3．（1）解：，当时，,所以函数在区间为单调增加； 当时，，所以函数在区间为单调减少． （2）解：， 当，或时，,所以函数在区间为单调增加； 当时，，所以函数在区间为单调减少． （3） 解： ，故函数在单调增加． 4． （1）证明：设， ，由于当时，, 因此在单调递增, 当 时, , 故在单调递增, 当 时, 有.故当时,, 因此． （2）证明：设, ，当，， 所以在单调递增, 当 时, , 故在单调递增, 从而当 时, 有. 因此当 时， 5．解： ,，所以 解得： ． 6．（1） 解： , , 令,得，当时不存在． 当或时, ,当或时, ． 故曲线在上是凸的, 在区间和上是凹的， 曲线的拐点为． （2）解： ，． 当时，不存在；当时，． 故曲线在上是凸的, 在上是凹的，是曲线的拐点, 7． 证明：令, 则, ． 当时, , 故函数的图形在上是凸的, 从而曲线在线段（其中）的上方，又, 因此, 即． 8. 提示：设，其中，则 拐点为 9.解：是奇函数，只需考虑， （1）时，在递减，故 在无零点，所以时在有唯一的根， （2）， 可证，因此时原方程有三个根. 10.证明：令 可得 当时，，而， 当时，，而， 即 第五节 函数的极值与最大值最小值 1．（1）C；（2） B；（3） A. 2．（1）解：由，得． ，所以函数在点取得极小值． （2）解：定义域为，， 令得驻点，当时，，当时，． 因此为极大值． 3． 解：． 由，得, ． 而, 所以最大值为132，最小值为7． 4． 解：设圆锥体的高为, 底半径为,故圆锥体的体积为， 由于，因此 ， 由，得，此时． 由于内接锥体体积的最大值一定存在,且在的内部取得. 现在在内只有一个根,故当, 时, 内接锥体体积的最大． 5．解： 问题转化为求过点的线段的最大值. 设木料的长度为, ，木料与河岸的夹角为，则，且 , ． 则 ， 由得, 此时， 故木料最长为． 6.解：，令得驻点为，此时， 而， 所以在区间上的最小值为 第六节 函数图形的描绘 1．解：由 ，所以为曲线的铅直渐近线． 因为 所以为曲线的斜渐近线． 2．解： 函数的定义域为． ． 令，得；令，得．列表讨论如下： ＋ － ＋ ＋ － － － － ＋ ( 极大值 ( ( 拐点 ( 由于 ， ， 所以，是曲线的斜渐近线．又因为，所以是曲线的铅垂渐近线． 当时；当时． 综合上述讨论，作出函数的图形如下 3. C 第七节 曲率 1． （１） ， __0__．（２）曲率为___2____，曲率半径为．（３） ． 2．解： 由题设可知 函数与在处由相同的函数值，一阶导数值，二阶导数值，故 3． 解： 因此曲率， 曲率半径． 4.分析：由题意知，，且在的曲率，而，故，在上，，即单调减少，没有极值点. 对于 （拉格朗日中值定理） ，由零点定理知内有零点，故选B 第三章 综合练习题 1．