浅谈二次型及其应用1.docVIP

目 录 摘　要………………………………………………………………… 1 引言…………………………………………………………………… 2 1.二次型的相关定义及定理………………………………………… 3 2.二次型的应用……………………………………………………… 6 2.1在二次曲线中的应用…………………………………………………… 6 2.2在证明不等式中的应用………………………………………………… 7 2.3在求极值中的应用……………………………………………………… 8 2.4在求某些曲线或曲面积分中的应用…………………………………… 10 2.5在多项式因式分解中的应用…………………………………………… 10 参考文献……………………………………………………………… 12 致谢…………………………………………………………………… 13 浅谈二次型及其应用 摘 要：二次型是高等代数的重要内容之一，通过研究二次型的结构及性质，解决一些不等式的证明、求极值、因式解等初等问题.并比较正交变换和配方法化二次型为标准型的区别，给出了二次型在计算某些积分中的应用.再借助非退化线性替换判断二次曲线的形状，展现线性代数中的二次型知识在微积分中的应用. 关键词：二次型；正定矩阵；非退化线性替换；标准型；正交变换 A Talk about Quadric Form and Its Application Abstract: the quadric form is one of the important contents of higher algebra, through the study of the structure and the quadratic nature, solve some inequality proof, for extreme, factoring in elementary problems and solutions. And compared with orthogonal transformation method HuaEr times and the difference between the standard model, and gives the second type in the calculation of the application of some points. Again the degradation of linear replace judgment by the shape of the quadratic curves, show linear algebra in the second type of the application of the knowledge in the calculus. Key Words: Quadratic; Positive definite matrix; The degradation of linear replacement; Standard; Orthogonal transformation 引言 高等代数与初等代数的联系是密不可分的，在中学数学中，不等式的证明、求极值及因式分解问题都是重点问题.用初等数学方法去处理这些问题往往会相当麻烦，而如果利用高等代数中二次型的性质去解决，则会是很多问题化繁为简.用二次型来解决微积分中的一些问题，有时也会起到意想不到的效果. 由于二次型具有较高的综合性和抽象性，对于相当一部分非数学专业的学生来说，虽然能够按照化二次型为标准型的步骤将一个普通二次型化为标准型，但是仍然无法建立起二次型的直观概念，很多学生很疑惑：二次型到底是什么？它有什么几何意义？在化二次型为标准型时使用的正交变换和配方法有什么区别？二次型的标准形有什么用？等等这些问题我们将一一解决. 1.二次型的相关定义及定理 二次型从本质上来说仍然是一个关于个变量的函数，只不过是一个比较特殊的二次其次函数，在表达式中出了平方项就是交叉项，没有一次项和常数项，只是希望利用矩阵的理论来研究二次型时才将二次型写为: 定义1.1 每个元二次型， 都可唯一地表成, 其中，为对称阵，称为二次型的矩阵，的秩称为的秩. 定义1.2 实二次型 (为实对称阵，），若对于任意的，皆有，则称为正定（半正定，半负定）二次型，若既不是半正定也不是半负定的，则称为不定二次型. 定理1.1 实二次型 (为实对称阵）为正定二次型的充分必要条件为 1）的正惯性指数为; 2) 的各阶顺序主子