第三章 微分中值定理与导数应用(讲义).pdfVIP

第三章 中值定理及导数应用 典型例题 Page 1 of 20 第三章第三章 微分中 微分中值定理值定理与导与导数数应应用用 第三章第三章 微分中微分中值值定理定理与与导导数数应应用用 四 典型例四 典型例题题 四 典型例四 典型例题题 1. 利用中1. 利用中值定理的值定理的证明证明题题 1. 1. 利用中利用中值值定理的定理的证证明明题题 f x a,b f ′ a f ′ b 0 ∃ξ ∈ a,b f ′ ξ = 0 例3.1  设 ( ) 在 [ ] 上可导，且 + ( ) − ( ) ，则 ( ) ，使 ( ) . f a = f b f x 分析：由题设条件无法推出 ( ) ( ) ，故不能使用Rolle定理，而用Fermat引理，只需证明 ( ) 的 最值不会在边界点取得即可. f x − f a ′ ( ) ( ) f a = lim 0 f ′ a 0, f ′ b 0 + ( ) + 证： 设   + ( ) − ( ) ， x →a x − a f x − f a 0 ( ) ( ) 0 0 ∃U a,δ x ∈U a ,δ f x f a 由保号定理， + ( 1 ) 使 x − a ，即当 + ( 1 ) 时，有 ( ) ( ) . 0 f ′ b 0 ∃U b,δ f x f b 同样，由于 − ( ) ，则 − ( 2 ) 使 ( ) ( ) . f x a,b ∃ξ ∈ a,b f ξ =M 因此，连续函数 ( ) 在 [ ] 上的最大值 M 不可能在端点取得，故 ( ) 使 ( ) ，又因为 f x a,b f ′ ξ = 0, ξ ∈ a ,b ( ) 在 [ ] 上可导，由Fermat引理知 ( ) ( )