ch3-1第一讲 微分中值定理.docVIP

第十六讲 Ⅰ 授课题目： §3.1 微分中值定理 Ⅱ 教学目的与要求： 1.理解三个中值定理及几何意义; 2.应用中值定理证明等式、不等式及有关命题. Ⅲ 教学重点与难点： 重点：三个中值定理的证明 难点：三个中值定理的应用 Ⅳ 讲授内容： 一、罗尔定理 首先，观察图1. 设曲线弧 是函数的图形. 这是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，即．可以发现曲线的最高点或最低点C处, 曲线有水平的切线. 如果记C点的横坐标为，那么就有.现在用分析语言把这个几何现象描述出来，就是下面的罗尔定理. 为了应用方便，先介绍费马（Fermat）引理. 费马（Fermat）引理 设函数在点的某邻域内有定义，并且在处可导，如果对任意的，有 （或）， 那么. 证明 不妨设时， （如果，可以类似地证明）.于是，对于,有 ， 从而当时， ； 当时， . 根据函数在可导的条件及极限的保号性，便得到 ， 所以，.证毕. 通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点）. 定理1（罗尔定理） 如果函数满足（1）在闭区间上连续；（2）在开区间 ()内可导；（3）在区间端点的函数值相等，即，那末在()内至少有一点，使得． 证明 由于在闭区间上连续，根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，在闭区间上必定取得它的最大值M和最小值m．这样,只有两种可能情形： (1)M＝m．这时在区间上必然取相同的数值M：＝M．由此，,有.因此，任取，有． (2)M＞m．因为，，所以M和m这两个数中至少有—个不等于在区间的端点处的函数值．为确定起见，不妨设M(如果设m，证达完全类似)．那末必定在开区间() 内有一点使M．因此， ，有，从而由费马引理可知.定理证毕. 注 证明方程有根，一是用零点定理，二是用罗尔定理. 例1 设在上连续，内可导，且，试证：至少存在一个，使. 证明： 令，则，，.由闭区间上连续函数的零点定理可知，存在，使.再由罗尔定理得，至少存在一个，使，即. 二、拉格朗日中值定理 罗尔定理中这个条件是相当特殊的，它使罗尔定理的应用受到限制．如果把这个条件取消，但仍保留其余两个条件，并相应地改变结论，那末就得到微分学中十分重要的拉格朗日中值定理． 定理2（拉格朗日中值定理） 如果因数满足（1）在闭区间上连续；（2）在开区间()内可导,那末在()内至少有一点，使等式 (1) 成立. 在证明之前，先看一下定理的几何意义.如果把（1）式改写成 ， 由图2可看出，为弦AB的斜率，而为曲线在点C处的切线的斜率．因此拉格朗日中值定理的几何意义是；如果连续曲线的弦AB上除端点外处处具有不垂直于轴的切线，那末这弧上至少有一点C，使曲线在C点处的切线平行于弦AB． 从罗尔定理的几何意义中(图1)看出，由于，弦AB是平行于轴的，因此点C处的切线实际上也平行于弦AB．由此可见，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形． 从上述拉格朗日中值定理与罗尔定理的关系，自然想到利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理．但在拉格朗日中值定理中，函数不一定具备这个条件，为此我们设想构造一个与有密切联系的函数(称为辅助函数)，使满足条件．然后对应用罗尔定理，再把对所得的结论转化到上，证得所要的结果．我们从拉格朗日中值定理的几何解释中来寻找辅助函数，从图3—2中看到，有向线段NM的值是的函数，把它表示为,它与有密切的联系，当及时，点M与点N重合，即有．为求得函数的表达式，设直线AB的方程为，则 , 由于点M、N的纵坐标依次为及，故表示有向线段NM的值的函数 . 下面就利用这个辅助函数来证明拉格朗日中值定理． 定理的证明 引进辅助函数 ． 容易验证函数适合罗尔定理的条件：；在闭区间上连续，在开区间() 内可导，且 . 根据罗尔定理，可知在内至少有一点，使，即 . 由此得 ， 即 . 定理证毕． 显然，公式(1)对于也成立．(1)式叫做拉格朗日中值公式. 设为区间内一点，为这区间内的另一点(或)，则公式(1)在区间[](当时)或在区间(当时)上就成为 . (2) 这里数值是在0与1之间，所以是在与之间. 如果记为，则（2）式又可写成 （3） 我们知道，函数的微分是函数的