数列放缩大题及详细解析.docVIP

2015年度高二数学理科模拟考试卷 试卷副标题 1．（本小题满分14分）设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an，n∈N*．设Sn为数列{bn}的前n项和，已知b1≠0，2bn–b1=S1?Sn，n∈N*． （Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式； （Ⅱ）设cn=bn?log3an，求数列{cn}的前n项和Tn； （Ⅲ）证明：对任意n∈N*且n≥2，有++ +＜． 2．（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且，为等比数列． （Ⅰ）求证：是等差数列； （Ⅱ）求的取值范围． 3．（本小题满分14分）已知为数列的前项和，（），且． （1）求的值； （2）求数列的前项和； （3）设数列满足，求证：． 4．（本小题满分12分）已知数列是等比数列，首项，公比，其前项和为，且，，成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，为数列的前项和，若恒成立，求的最大值. 5．（本小题满分16分）设各项均为正数的数列的前项和为，满足，且恰好是等比数列的 前三项． （1）求数列、的通项公式； （2）记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 6．已知数列满足,，． （1）求证：是等差数列； （2）证明：． 7．（本小题满分14分）已知数列的前项之和为（），且满足． （1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）求证：． 参考答案 1．（Ⅰ）an=3n–1．bn=2n–1．（Ⅱ）Tn=(n–2)2n+2．（）n=bn?log3an=2n–1log33n–1=(n–1)2n–1，故利用“错位相减法”求和. （） =(1–)＜． 试题解析：（Ⅰ）∵an+1=3an，∴{an}是公比为3，首项a1=1的等比数列， ∴通项公式为an=3n–1． 2分 ∵2bn–b1=S1?Sn，∴当n=1时，2b1–b1=S1?S1， ∵S1=b1，b1≠0，∴b1=1． 3分 ∴当n＞1时，bn=Sn–Sn–1=2bn–2bn–1，∴bn=2bn–1， ∴{bn}是公比为2，首项b1=1的等比数列， ∴通项公式为bn=2n–1． 5分 （Ⅱ）cn=bn?log3an=2n–1log33n–1=(n–1)2n–1， 6分 Tn=0?20+1?21+2?22+ +(n–2)2n–2+(n–1)2n–1 ① 2Tn=0?21+1?22+2?23+ +(n–2)2n–1+(n–1) 2n ② ①–②得：–Tn=0?20+21+22+23+ +2n–1–(n–1)2n =2n–2–(n–1)2n =–2–(n–2)2n ∴Tn=(n–2)2n+2． 10分 （） =(1–)＜． 14分 考点：1.数列的通项；2.等比数列及其通项公式；3.数列的求和、“错位相减法”. 2．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由为等比数列可得，两边同除得，故是等差数列；（Ⅱ）典型的用错位相减法求解，，， ，两式相减 ，当时， ，从第1项开始递增, 试题解析：（Ⅰ） ，， ，是以为首项，公差的等差数列 6分 （Ⅱ）， ① ．．②， 由①-②得 8分 当时， ，从第1项开始递增, 12分 考点：等差数列的定义、错位相减法求数列的和 3．（1）；（2）；（3）证明见解析． 【解析】 试题分析：（1）令即可求出的值；（2）先利用（）转化为等差数列，再利用等差数列的通项公式可得数列的通项公式，进而即可得数列的前项和；（3）先将放缩，化简，利用裂项法，即可证明． 试题解析：（1）解：由和可得 2分 （2）解法1：当时，由 得 4分 6分 ∴数列是首项，公差为6的等差数列 ∴ 7分 ∴ 8分 [解法2：当时，由 4分 可得 6分 ∴数列是首项,公差为3的等差数列 ，即 8分] （3）证明： 10分 11分 ∴ 13分 命题得证 14分 考点：1、等差数列的通项公式；2、等差数列的前项和公式；3、数列的求和；4、不等式的证明. 4．(1)；（2）