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5.6 § 多元函数的极值及其应用 一．基础知识 1. 无条件极值 ⑴极值概念 → n 定义: 设D⊂ R 为开区域, f(x)为定义在D上的 元函数, n → → → (0) (0) (0) x = (x ,x ,⋯,x )∈D 若存在x 的邻域O(x ,δ)使得, 0 1 2 n 0 0 → → → → → → f(x )≥ f(x) 或f(x )≤ f(x)( ) ∀x∈O(x ,δ) 0 0 0 → → → → 则称 为f(x)的极大值点(或极小值点), 称为 f(x)的极大值(或极小值); x f(x ) 0 0 极大值点与极小值点统称为极大值点 极大值与极小值称为极值, . → 注: 注意到极值概念的局部性, 因此极值概念与最值概念是有区别的. 当函数 f(x)在区域 上的最值是该区域的内点时, 最值点才是极值点. ⑵极值必要条件 → → 1: , : 定理 设f在x 处可偏导 则x 是f的极值点的必要条件是 0 0 ∂ → ∂ → ∂ → f(x )= f(x )=⋯= f(x )= 0 0 0 0 ∂x ∂x ∂x 1 2 n 驻点(稳定点): 使函数f的各个一阶偏导数同时为零点称为f的驻点(稳定点). ⎧f (x,x ,⋯,x )= 0 ⎪ x1 1 2 n ⎪f (x,x ,⋯,x )= 0 x 1 2 n 注: ①驻点通过解方程: ⎨ 2 求得