第六章反函数、对数函数、反三角函数§6.1反函数及其图象的一般讨论.docVIP

第六章　反函数　对数函数　反三角函数 函数使自变量与因变量建立了对应关系，研究中通常由自变量值求因变量的对应值、即函数值．但在某些情况，会有相反的要求：由函数值求与之对应的自变量的值．从函数的观点来看，似乎对应关系反过来了：原来的因变量变成了自变量，原来的自变量反而成为对应的因变量．这种反过来的对应，就是你在本章所要学习的反函数． 当然，这里将要解决一系列的问题：任意一个函数，能否必定可以建立这种相反的对应关系？什么条件下可以建立？相反的对应关系，用数学式怎样表示它？与原来的函数表示式之间有什么关系？如何从原来的函数表示式求出它？这些就是你在本章要学习的具体内容． 某些基本初等函数，如指数函数、三角函数等，有没有相反的对应关系？如有的话，它们又有些什么性质？这些问题构成了本章中的对数函数和反三角函数，也是你要重点掌握的核心内容． §6.1　反函数及其图象的一般讨论 预备知识 (函数的概念 (作一点关于直线的对称点 重点 (反函数的概念 (反函数的求法 (反函数的图象与原来函数图象的关系 难点 (反函数的概念 (函数存在反函数的条件 学习要求 (了解反函数的概念 (掌握简单反函数的求法 (了解互为反函数的两个函数图象之间的关系 (理解反函数存在的条件 本节将应用函数的概念，介绍什么叫一个函数的反函数，函数与反函数的图象之间有什么联系． 1.反函数的概念 (1)实例 我们用下面的实际例子，介绍什么叫反函数．往 底面积为25(cm2(即底面直径为10cm)、高为20cm的 圆柱形容器内注水(见图6-1)．注入水的体积y随着注 入水高度x的变化而变化，x到y的对应法则可以用 式子表示为 y=25(x,　x([0,20] (1) y是x的函数．称x为自变量，y为因变量，定义域 为D=[0,20]，值域为M={y(y=25(x，x([0,20]}=[0,500(]．　　 　　对于函数(1)，问题的提法是：根据注入水的高度，求注入水的体积，即给出一个x，求对应的y． 现在我们反过来提问题：注入水的体积y为50cm3时，注入水的高度x是多少？即已知因变量的值(即函数值)y，求与之对应的自变量x的值．因此这里要反映的是y到x的对应法则．你不难得出，这个对应法则是 x=y，y([0,500(]　　　　　　 (2) 这是一个值域为[0,20]的新函数，对于[0, 500(]内的任意一个y值，在[0,20]中都有唯一一个x值与之对应．这个函数的特点是：对应法则与原来的函数相反；原来的自变量x变成了因变量，原来的因变量y变成了自变量；原来的值域M变成了定义域D(，原来的定义域D变成了值域M (． (2)一般情况下反函数的定义 把上面的例子推广到一般情况． 设函数y=f(x)的定义域是D，值域是M．若对M中的每个y，在D中有唯一一个x与之对应，使f(x)=y，则称y=f(x)存在反函数，并把这个反函数称为y=f(x)的反函数，用记号x=f - 1(y)表示，它的定义域为M，值域为D． 因为你已经习惯于用x表示自变量，y表示因变量，所以我们把x=f -1(y)又改写成y=f -1(x)．注意函数的本质只是反映两个变量之间的一种对应法则，至于这两个变量用什么记号表示是无所谓的，所以以y=f -1(x)来表示y=f(x)的反函数是没有问题的．为了便于区分，不妨称x=f -1(y)为直接反函数，称 　　y=f –1(x)，x(M (6-1-1) 为常规反函数． 以后除了在特殊场合，讲到反函数，我们总是指常规反函数．如前面的实例中，函数(1)的直接反函数是(2)，而(常规)反函数则是 y=x，x([0,500(]　　　　　　 (3) 函数与反函数的映象关系及其转换 过程，可以直观地表示成如图6-2． 函数与反函数是成对互反的，即函 数y=f(x)反函数的反函数就是函数自身 用前面实例来看，这种关系其实是很直 观的．例如反函数(3)的对应法则f –1， 是把水体积对应为水高度；而(3) 的反 函数又把水高度对应为水体积，这种对 应正好就是f． 2. 反函数的求法 若函数y=f(x)的f(x)，是x的一个解析式，则只要求得值域M，从y=f(x)中解出x(即用y的解析式表示x)，再对调x,y，并标明定义域为M，就是所求的反函数． 例1　求函数y=2x-1的反函数． 解　由y=2x-1得 x=(y+