讲座07-探索性问题的常见类型及其求解策略.docVIP

探索性问题的常见类型及其求解策略 一、条件追溯型 这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。 例1．设函数是偶函数，则t的一个可能值是 。 分析与解答：∵函数 ∴ 。由此可得 ∴ 评注：本题为条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件．这类题要求学生变换思维方向，有利于培养学生的逆向思维能力． 二、结论探索型 这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论。在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论。 例2．若干个能惟一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”。设是公比为q的无穷等比数列，下列的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第 组。（写出所有符合要求的组号）。 ①S1与S2；②a2与S3；③a1与an；④q与an. 其中n为大于1的整数，Sn为的前n项和。 分析与解答：（1）由S1和S2，可知a1和a2。由可得公比q，故能确定数列是该数列的“基本量”。 （2）由a2与S3，设其公比为q，首项为a1，可得 ，∴ ∴ 满足条件的q可能不存在，也可能不止一个，因而不能确定数列，故不一定是数列的基本量。 （3）由a1与an，可得，当n为奇数时，q可能有两个值，故不一定能确定数列，所以也不一定是数列的一个基本量。 （4）由q与an，由，故数列能够确定，是数列的一个基本量。 故应填①、④ 评注：数学需要解题，但题海战术绝对不是学习数学的最佳策略。本题考查确定等比数列的条件，要求正确理解等比数列和新概念“基本量”的意义。如何能够跳出题海，事半功倍，全面考察问题的各个方面，不仅可以训练自己的思维，而且可以纵观全局，从整体上对知识的全貌有一个较好的理解． 例3．规定，其中，是正整数，且，这是组合数（n，m是正整数，且）的一种推广． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）组合数的两个性质：①；②，是否都能推广到（，是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由； （Ⅲ）我们知道，组合数是正整数．那么，对于，，是正整数，是否也有同样的结论？你能举出一些成立的例子吗？ 分析与解答：（Ⅰ）． （Ⅱ）一个性质是否能推广的新的数域上，首先需要研究它是否满足新的定义．从这个角度很快可以看出：性质①不能推广．例如当时，有定义，但无意义． 性质②如果能够推广，那么,它的推广形式应该是：，其中，是正整数． 类比于性质①的思考方法，但从定义上是看不出矛盾的，那么，我们不妨仿造组合数性质的证明过程来证明这个结论．事实上， 当时，．当时， 由此，可以知道，性质②能够推广． （Ⅲ）从的定义不难知道，当且时，不成立，下面，我们将着眼点放在的情形． 先从熟悉的问题入手．当时，就是组合数，故． 当且时，推广和探索的一般思路是：能否把未知的情形（，且）与已知的结论相联系？ 一方面再一次考察定义：；另一方面，可以从具体的问题入手．由（Ⅰ）的计算过程不难知道：．另外，我们可以通过其他例子发现类似的结论．因此，将转化为可能是问题解决的途径． 事实上，当时， ． ①若，即，则为组合数，故． ②若，即时，无法通过上述方法得出结论，此时，由具体的计算不难发现：＝0……，可以猜想，此时． 这个结论不难验证．事实上，当时，在这m个连续的整数中，必存在某个数为0．所以，． 综上，对于且为正整数，均有． 评注：类比是创造性“模仿”，联想是“由此及彼”思维跳跃．在开放题的教学中，引导学生将所求的问题与熟知的信息相类比，进行多方位的联想，将式子结构、运算法则、解题方法、问题的结论等引申、推广或迁移，可由已知探索未知，由旧知探索新知，这既有利于培养学生的创新思维能力，又有利于提高学生举一反三、触类旁通的应变灵活性． 三、条件重组型 这类问题是指给出了一些相关命题，但需对这些命题进行重新组合构成新的复合命题，或题设的结求的方向，条件和结论都需要去探求的一类问题。此类问题更难，解题要有更强的基础知识和基本技能，需要要联想等手段。一般的解题的思路是通过对条件的反复重新组合进行逐一探求。应该说此类问题是真正意义上的创新思维和创造力。 例4、α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α。以其中的三个论断作为条件，余