7_4多元复合函数的微分法.pdfVIP

第四节、多元复合函数的微分法 一、链式法则 二、全微分形式不变性 三、小结、思考题 四、作业 一、链式法则 定理 如果函数 u ϕ(t) v ψ(t ) t 及 都在点 可 导，函数 z f (u ,v ) 在对应点 (u,v) 具有连续偏 导数，则复合函数 z f (ϕ(t ),ψ(t ))在对应点t 可导，且其导数可用下列公式计算： dz ∂z du ∂z dv =+ . dt ∂u dt ∂v dt 证 设 t 获得增量Δt , Δu ϕ(t =+Δt ) −ϕ(t ), Δv ψ(t +Δt ) −ψ(t ); 第四节、多元复合函数的微分法 由于函数 在点 有连续偏导数 z f u v( , ) ( , u)v ∂z ∂z Δz Δu =+ Δv +εΔu +εΔv, 1 2 ∂u ∂v 当Δu →0, Δv →0 时， ε →0 ，ε →0 1 2 Δz ∂z Δu ∂z Δv Δu Δv =⋅ + ⋅ +ε1 +ε2 , Δt ∂u Δt ∂v Δt Δt Δt Δu →0, ， 当 Δt →0 时， Δ →v 0 Δu du Δv dv → , → , Δt dt Δt dt dz Δz ∂z du ∂z dv lim ⋅ + ⋅ . dt Δt →0 Δt ∂u dt ∂v dt 第四节、多元复合函数的微分法 上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况. dz ∂z du ∂z dv ∂z dw 如 + + t ∂ t ∂ t ∂ dt d u d v d w