特征根公式证明与应用1.docVIP

特征方程法求解递推关系中的数列通项 考虑一个简单的线性递推问题. 设已知数列的项满足 ，其中求这个数列的通项公式. 采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述. 定理1.设上述递推关系式的特征方程的根为，则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即. 证明：因为由特征方程得作换元 则 当时，，数列是以为公比的等比数列，故 当时，，为0数列，故（证毕） 下面列举两例，说明定理1的应用. 例1．已知数列满足：求 解：作方程 当时，数列是以为公比的等比数列.于是 例2．已知数列满足递推关系：其中为虚数单位. 当取何值时，数列是常数数列？ 解：作方程则 要使为常数，即则必须 现在考虑一个分式递推问题（*）. 例3．已知数列满足性质：对于且求的通项公式. 将这问题一般化，应用特征方程法求解，有下述结果. 定理2.如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程. （1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时， 若则 若，则其中特别地，当存在使时，无穷数列不存在. （2）当特征方程有两个相异的根、（称作特征根）时，则，其中 证明：先证明定理的第（1）部分. 作交换 则 ① ∵是特征方程的根，∴ 将该式代入①式得 ② 将代入特征方程可整理得这与已知条件矛盾.故特征方程的根于是 ③ 当，即=时，由②式得故 当即时，由②、③两式可得此时可对②式作如下变化： ④ 由是方程的两个相同的根可以求得 ∴ 将此式代入④式得 令则故数列是以为公差的等差数列. ∴ 其中 当时， 当存在使时，无意义.故此时，无穷数列是不存在的. 再证明定理的第（2）部分如下： ∵特征方程有两个相异的根、，∴其中必有一个特征根不等于，不妨令于是可作变换 故，将代入再整理得 ⑤ 由第（1）部分的证明过程知不是特征方程的根，故 故所以由⑤式可得： ⑥ ∵特征方程有两个相异根、方程有两个相异根、，而方程与方程又是同解方程. ∴ 将上两式代入⑥式得 当即时，数列是等比数列，公比为.此时对于都有 当即时，上式也成立. 由且可知 所以(证毕) 注:当时,会退化为常数;当时,可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述. 现在求解前述例3的分类递推问题. 解:依定理作特征方程变形得其根为故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有 ∴ ∴ 即 例4．已知数列满足：对于都有 （1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？ 解：作特征方程 变形得 特征方程有两个相同的特征根依定理2的第（1）部分解答. （1）∵对于都有 （2）∵ ∴ 令，得.故数列从第5项开始都不存在， 当≤4，时，. （3）∵∴ ∴ 令则∴对于 ∴ （4）显然当时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，时，数列是存在的，当时，则有令则得且≥2. ∴当（其中且N≥2）时，数列从第项开始便不存在. 于是知：当在集合或且≥2}上取值时，无穷数列都不存在。 特征根求解通项公式第 5 页 共 5 页