不等式(上)很实用的.docVIP

【考点梳理】 一、考试内容 不等式，不等式的性质，不等式的证明，不等式的解法，含有绝对值的不等式。 二、考试要求 1.掌握不等式的性质及其证明，掌握证明不等式的几种常用方法，掌握两个和三个（不要求四个和四个以上）“正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这两个定理，并能运用上述性质、定理和方法解决一些问题。 2.在熟练掌握一元一次不等式（组）、一元二次不等式（组）的解法的基础上初步掌握其他的一些简单的不等式的解法。 3.会用不等式||a|－|b|a+b|≤|a|+|b|。 三、考点简析 1.不等式知识相互关系表 2.不等式的性质 （1）作用地位 不等式性质是不等式理论的基本内容，在证明不等式、解不等式中都有广泛的应用。高考中，有时直接考查不等式的性质，有时间接考查性质（如在证明不等式、解不等式中就间接考查了掌握不等式性质的程度）。准确地认识、运用基本性质，并能举出适当反例，能辨别真假命题是学好不等式的要点。 （2）基本性质 实数大小比较的原理与实数乘法的符号法则是不等式性质的依据。在不等式性质中，最基本的是： ①abba（对称性） ②ab,bcac（传递性） ③aba+cb+c（数加） ④ （ab,c=0a·c=b·c） 与等式相比，主要区别在数乘这一性质上，对于等式a=bac=bc，不论c是正数、负数还是零，都成立，而对于不等式ab，两边同乘以c之后，ac与bc的大小关系就需对c加以讨论确定。这关系即使记得很清楚，但在解题时最容易犯的毛病就是错用这一性质，尤其是需讨论参数时。 （3）基本性质的推论 由基本性质可得出如下推论： 推论1：ab0,cd0acbd 推论2：ab0,cd0 推论3：ab0anbn(n∈N) 推论4：ab0(n∈N) 对于上述推论可记住两点：一是以上推论中a,b,c,d均为正数，即在{x|x是正实数}中对不等式实施运算；二是直接由实数比较大小的原理出发。 3.不等式的证明 （1）作用地位 证明不等式是数学的重要课题，也是分析、解决其他数学问题的基础，特别是在微积分中，不等式是建立极限论的理论基础。 高考中，主要涉及“a,b0时，a+b≥2”这类不等式，以及运用不等式性质所能完成的简单的不等式的证明。用数学归纳法证明的与自然数有关命题的不等式难度较大。 （2）基本不等式 定理1：如果a,b∈{x|x是正实数}，那么≥（当且仅当a=b时取“=”号） 定理2：如果a,b,c∈{x|x是正实数}，那么≥(当且仅当a=b=c时取“=”号) 定理3：如果a、b∈{x|x是正实数}，那么 ≤≤≤ （当且仅当a=b时取“=”号） 推论4：如果a,b,c∈{x|x是正实数}，那么 ≤≤≤ （当且仅当a=b=c时取“=”号） 由上述公式还可衍生出一些公式 ①4ab≤(a+b)2≤2(a2+b2),a、b∈R（当且仅当a=b时等号成立） ②a2+b2+c2≥ab+bc+ca,a,b,c∈R（当且仅当a=b=c时等号成立） ③a2+b2+c2≥(a+b+c)2≥ab+bc+ca,a,b,c∈R（当且仅当a=b=c时等号成立） ④|+|≥2（当且仅当|a|=|b|时取“=”号） ⑤a0,b0,a+b=1，则ab≤等。 （4）不等式证明的三种基本方法 ①比较法：作差比较，根据a－b0abab只需证a－b0b0时，ab1。比较法是证明不等式的基本方法，也是最重要的方法，有时根据题设可转化为等价问题的比较（如幂、方根等）。 ②分析法：从求证的不等式出发寻找使该不等式成立的充分条件。对于思路不明显，感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径。 ③综合法：从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形（恒等变形或不等变形）推导出要求证明的不等式。 4.不等式的解法 （1）作用与地位 解不等式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重要手段，与“等式变形”并列的“不等式的变形”，是研究数学的基本手段之一。 高考试题中，对解不等式有较高的要求，近两年不等式知识占相当大的比例。 （2）一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组） 解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各类不等式的基础，必须熟练掌握，灵活应用。 （3）高次不等式 解高次不等式常用“数轴标根法”。一般地，设多项式 F(x)=a(x－a1)(x－a2)(x－an)a≠0） 它的n个实根的大小顺序为a1a2…an，把数轴分成n+1个区间： (－,a1)，（a1,a2），…，(an－1,an),(an,+) 自右至左给这些区间编上顺序号，则当a0时有： ①在奇数区间内，F(x)0。 ②在偶数区间内，F(x)0 （4）分式不等式 分式不等式的等价变形： 0f(x)·g(x)0 ≥0 （5）无理不等式 两类常见的无理不等式等价变形： ≥g(x) 或 g(x) （6）指数不等式