《导数及其应用》专题训练.docVIP

河南省卢氏一中2012届高考数学二轮《导数及其应用》专题训练 一、选择题 1．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)有两个极值点x1，x2，则x1·x2等于(　　) A．9　　　　　　　　　　　　B．－9 C．1 D．－1 解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，则x1·x2＝1. 答案：C 2．(2011·江西高考)若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f ′(x)0的解集为(　　) A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－1,0) 解析：令f ′(x)＝2x－2－＝＞0，利用数轴标根法可解得－1＜x＜0或x＞2，又x＞0，所以x＞2. 答案：C 3．(2011·湖南高考)曲线y＝－在点M(，0)处的切线的斜率为(　　) A．－ B. C．－ D. 解析：y′＝＝，把x＝代入得导数值为. 答案：B 4．(2011·浙江高考)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图像不可能为y＝f(x)的图像是(　　) 解析：若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则易得a＝c.因选项A、B的函数为f(x)＝a(x＋1)2，则[f(x)ex]′＝f′(x)ex＋f(x)(ex)′＝a(x＋1)(x＋3)ex，∴x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点满足条件；选项C中，对称轴x＝－＞0，且开口向下， ∴a＜0，b＞0.∴f(－1)＝2a－b＜0.也满足条件；选项D中，对称轴x＝－＜－1，且开口向上， ∴a＞0，b＞2a.∴f(－1)＝2a－b＜0.与图矛盾，故答案选D. 答案：D 5．(2011·合肥模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，若f(x)在区间(－1,0)上单调递减，则a2＋b2的取值范围是(　　) A．[，＋∞) B．(0，] C．[，＋∞) D．(0，] 解析：由题意得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(x)≤0在x∈(－1,0)上恒成立，即3x2＋2ax＋b≤0在x∈(－1,0)上恒成立， ∴∴a，b所满足的可行域如图中的阴影部分所示．则点O到直线2a－b－3＝0的距离d＝.∴a2＋b2≥d2＝.∴a2＋b2的取值范围为[，＋∞)． 答案：C 6．(2011·临沂模拟)已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时，不等式f(x)＋xf′(x)0恒成立，若a＝20.3f(20.3)，b＝(logπ2)f(logπ2)，c＝(log2)f(log2)，则a、b、c的大小关系是(　　) A．abc B．cba C．bac D．acb 解析：设g(x)＝xf(x)，由y＝f(x)为R上的奇函数，可知g(x)为R上的偶函数． 而g′(x)＝[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)，由已知得，当x∈(－∞，0)时，g′(x)0，故函数g(x)在(－∞，0)上单调递增，由偶函数的性质可知，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减．因为a＝g(20.3)，b＝g(logπ2)，c＝g(log2)＝g(－2)＝g(2)，且220.3logπ20，故cab. 答案：C 二、填空题 7．(2011·陕西高考)设f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝________. 解析：显然f(1)＝lg1＝0，f(0)＝0＋3t2dt＝t3|＝1，得a＝1. 答案：1 8．若a2，则方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰好有________个根． 解析：设f(x)＝x3－ax2＋1，则f′(x)＝x2－2ax＝x(x－2a)．当x∈(0,2)时，f′(x)0，f(x)在(0,2)上为减函数．又f(0)·f(2)＝1×(－4a＋1)＝－4a0， ∴f(x)＝0在(0,2)上恰好有1个根． 答案：1 9．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其导函数y＝f′(x)的图像经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，则下列说法中不正确的是________． ①当x＝时函数取得极小值； ②f(x)有两个极值点；③当x＝2时函数取得极小值；④当x＝1时函数取得极大值． 解析：从图像上可以看到：当x∈(0,1)时，f′(x)＞0；当x∈(1,2)时，f′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)有两个极值点1和2，且当x＝2时函数取得极小值，当x＝1时函数取得极大值．只有①不正确． 答案：① 三、解答题 10．(2011·新课标全国卷)已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0. (1)求a，b的值； (2)如果当x0，且x≠1时，f(x)＋，求k的取值范围． 解：(1)f ′(x)＝－.由