012导数及其应用.docVIP

导数及其应用 1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念. 2. 熟记八个基本导数公式(c,(m为有理数)， 的导数)；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数. 3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值． 导数的应用价值极高，主要涉及函数单调性、极大（小）值，以及最大（小）值等，遇到有关问题要能自觉地运用导数. 1．导数的概念：函数y＝的导数，就是当Δ0时，函数的增量Δy与自变量的增量Δ的比的 ，即＝ ＝ ． 2．导函数：函数y＝在区间(a, b)内 的导数都存在，就说在区间( a, b )内 ，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做的 ，记作或，函数的导函数在时的函数值 ，就是在处的导数. 3．导数的几何意义：设函数y＝在点处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点处的 . 4．求导数的方法 (1) 八个基本求导公式 ＝ ； ＝ ；(n∈Q) ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ (2) 导数的四则运算 ＝ ＝ ＝ ，＝ (3) 复合函数的导数 设在点x处可导，在点处可导，则复合函数在点x处可导， 且＝ ，即. 5． 函数的单调性 ⑴ 函数y＝在某个区间内可导，若＞0，则为 ；若＜0，则为 .（逆命题不成立） (2) 如果在某个区间内恒有，则 . 注：连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的. (3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法： ① 确定函数的 ； ② 求，令 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根； ③ 把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间； ④ 确定在各小开区间内的 ，根据的符号判定函数在各个相应小开区间内的增减性. 6．可导函数的极值 ⑴ 极值的概念 设函数在点附近有定义，且对附近的所有点都有 （或 ），则称为函数的一个极大（小）值．称为极大（小）值点. ⑵ 求可导函数极值的步骤： ① 求导数； ② 求方程＝0的 ； ③ 检验在方程＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y＝在这个根处取得 . 7．函数的最大值与最小值： ⑴ 设y＝是定义在区间[a ,b ]上的函数，y＝在(a ,b )内有导数，则函数y＝在[a ,b ]上 有最大值与最小值；但在开区间内 有最大值与最小值． (2) 求最值可分两步进行： ① 求y＝在(a ,b )内的 值； ② 将y＝的各 值与、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (3) 若函数y＝在[a ,b ]上单调递增，则为函数的 ，为函数的 ；若函数y＝在[a ,b ]上单调递减，则为函数的 ，为函数的 . 例1. 求下列各函数的导数： （1） （2） （3） （4） 变式训练1：求y=tanx的导数. 例2. 已知曲线y= （1）求曲线在x=2处的切线方程； （2）求曲线过点（2，4）的切线方程. 变式训练2：若直线y=kx与曲线y=x3-3x2+2x相切，则k= . 例3. 设函数 (a,b∈Z)，曲线在点处的切线方程为y=3. （1）求的解析式； （2）证明：曲线上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值. 变式训练3：偶函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P（0，1），且在x=1处的切线方程为y=x-2，求y=f（x）的解析式. 1．理解平均变化率的实际意义和数学意义。 2．要熟记求导公式，对于复合函数的导数要层层求导. 3．搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线、加速度