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2012 数学讲座（7—9 ）极限，连续 （上与《数学复习导引》之（6 ）相接） 第 7 讲. “存在”与否全面看 定义，是数学的基本游戏规则。每个定义的条件都是充分必要条件。既可以用于“判 定”，又能由此而“逆推”。 即便有了定义，为了方便起见，数学工作者们通常会不遗余力地去寻觅既与定义等价， 又更好运用的描述方式。 极限是微积分最“原始”的工具，也是最标志性的工具。应用极限的前提是极限存在。 教材上首先运用“极限的ε–δ语言定义”证明了，在同一过程中， “若各个函数的极限都存在，则函数的四则运算的极限，等于相应各极限的四则运算。” （除法运算中，分母的极限不为0 ） （潜台词：这里的“四则运算”代表运算结果。） 对于非数学专业的学生而言，极限的“ε–δ语言定义”难懂难用，要讨论极限的存在 性，通常用如下三个常用的等价条件。 1．唯一性定理 复习导引（5 ）中的这段话值得重复： “自变量的变化趋势分为两类，一类是x → x0 ；一类是x → ∞ 无论哪一种情形，我们都不会考虑x从何处出发，也不会考虑x具体如何趋于x0或趋向无 穷。是蛙跳般不停不息，或是左右左右摇摇摆摆前行，还是连续地一步一趋？ 如果真的选择连续地一步一趋方式，对x0来说，只有从左侧或右侧两种逼近方式。对x → ∞而言，则有直接向 + ∞ 或直接向 −∞ 两种趋向。通常称这为“两条道路”。其它方 式统称为“x沿子路径趋向x0 （或∞）”。 定理（1）（海涅定理）——极限存在的充分必要条件是，无论x 以何种方式趋于x0 （或 ∞），相应的函数值总有相同的极限A存在。 用序列（即数列）的语言说海涅定理 —— 当n → ∞ 时，序列 存在极限的充分 { }x n 必要条件为，它的任意一个子序列 的极限都存在且相等。 { }x k 这个定理条件的“充分性”实用价值较小。事实上我们不可能穷尽x逼近x0 的所有方式。 很多教科书都没有点出这一定理，只是把它的“必要性”单立成为极限的一条重要性质。 即 唯一性定理 ——“如果函数（在某一过程中）有极限存在，则极限唯一。” 唯一性定理的基本应用之一，是证明某个极限不存在。 n ⎧ n 2 + n , 若 为奇数, ⎪ ⎪ n 例 1 设数列的通项为 x 则当 n → ∞ 时，x 是 n ⎨ n , ⎪ 1 若n为偶数, ⎪ n ⎩ （A ）无穷大量 （B ）无穷小量 （C）有界变量 （D ）无界变量 （选（D ）） 分析 x n 的偶下标子列是无穷小，而奇下标子列是无穷大。整个数列没有确定的趋向。 《高等数学》教材中通常会先给出两个基本极限。学完全书后自然不用再看其证明了。 sin x 1 基本极限 1 —— 或 x lim 1