北大数分讲义多元函数微分学.pdfVIP

第四章 多元函数微分学 §2.1偏导数 设D 是R 2 中的区域, z f (x , y ) 是D 上的函数. 设P0 (x 0 , y 0 ) D , 我们希望定 义f (x ,y ) 在P 点的导数, 即因变量相对于自变量的变化率. 但如果将P (x ,y ) 作为变量, 0 由于其是二维向量, 没有除法, 因此很难定义f (x, y ) f (x0 ,y 0 ) 相对于 P P0 (x x 0 , y y 0 ) 的变化率. 我们只能将P (x ,y ) 的分量x 和y 分别作为自变量 来定义导数. f (x,y 0 ) f (x 0 , y 0 ) 将y 固定在y 0 , 则f (x, y 0 ) 是x 的函数. 如果lim 存在, 则称 x x0 x x 0 f (x ,y ) 在(x0 ,y 0 ) 处沿x 方向可导, 称极限为f (x ,y ) 在(x0 ,y 0 ) 处关于x 的偏导数, 记之 f 为 (x0 , y 0 ) 或f x (x0 , y 0 ) . x f 同样我们定义 f (x ,y ) 在 (x0 ,y 0 ) 处沿 y 方向的偏导数 (x0 , y 0 ) 为 y f (x 0 , y ) f (x0 , y 0 ) lim . y y 0 y y 0 2 3 f (x , y ) 2 例: 设f (x ,y ) x sin y y , 则 sin y , 而 x f (x, y ) 2 2 2 2 x cos y 2y 3y 2xy cos y 3y . y 上例说明偏导数的计算仅是一元函数求导的简单推广. 因此一元函数求导的公式和性 质对偏导数都成立. f f 由偏导数的定义不难看出, f (x ,y ) 在(x0 ,y 0 ) 处存在偏导数 (x0 , y 0 ) , (x0 , y 0 ) x y 仅与f (x ,y ) 沿x 轴方向和y 轴方向变化有关, 与f (x ,y ) 在其余部分的取值无关. 因而与 一元函数不同, 偏导在一个点的存在不能得出函数在这点连续. 例: 设 1 xy