数列通项公式方法大全.docVIP

1，数列通项公式的十种求法： （1）公式法（构造公式法） 例1 已知数列满足，，求数列的通项公式。 解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。 （2）累加法 例2 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：由得则 所以数列的通项公式为。 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。 变式：已知数列满足，求数列的通项公式。 （3）累乘法 例3已知数列满足，求数列的通项公式。 解：因为，所以，则，故 所以数列的通项公式为 评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。 变式：已知数列满足，求的通项公式。 （4）待定系数法 例4已知数列满足，求数列的通项公式。 解：设 ④ 将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得 ⑤ 由及⑤式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。 变式： ①已知数列满足，求数列的通项公式。 ②已知数列满足，求数列的通项公式。 （5）对数变换法 例5已知数列满足，，求数列的通项公式。 解：因为，所以。在式两边取常用对数得 ⑩ 设 将⑩式代入式，得，两边消去并整理，得，则 ，故 代入式，得 由及式， 得， 则， 所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此 则。 评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。 （6）数学归纳法 例6已知数列满足，求数列的通项公式。 解：由及，得 由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。 （1）当时，，所以等式成立。 （2）假设当时等式成立，即，则当时， 由此可知，当时等式也成立。 根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。 评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。 （7）换元法 例7已知数列满足，求数列的通项公式。 解：令，则 故，代入得 即 因为，故 则，即， 可化为， 所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得 。 评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。 （8）不动点法 例8已知数列满足，求数列的通项公式。 解：令，得，则是函数的两个不动点。因为 。所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。 评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根，进而可推出，从而可知数列为等比数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。 例9已知数列满足，求数列的通项公式。 解：令，得，则是函数的不动点。 因为，所以 。 评注：本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。 课后习题： 1．数列的一个通项公式是（ ） A、 B、 C、 D、 2．已知等差数列的通项公式为 , 则它的公差为（ ） A 、2 B 、3 C、 D、 3．在等比数列中, 则（ ） A、 B、 C、 D、 4．若等比数列的前项和为，且，，则 5．已知数列通项公式，则该数列的最小的一个数是 6．在数列{an}中，且，则数列的前99项和等于 ． 7．已知是等差数列，其中，公差。 （1）求数列的通项公式； （2）数列从哪一项开始小于0？ （3）求数列前项和的最大值，并求出对应的值． 8．已知数列的前项和为， （1）求、、的值； （2）求通项公式。 9．等差数列中，前三项分别为，前项和为，且。 （1）、求和的值； （2）、求=;