线性代数与空间解析几何.docVIP

习题4.1 1. 设，求. 解： . 2. 设，求向量，其中, . 解: 由，可得 3. 设， ，问是不是向量空间？为什么？ 解：. 习题4.2 1. 已知向量，用的线性组合来表示. 解：设解方程组可得. 2. 已知向量 , ，试把表示成的线性组合. 解：设即 ， 此方程组有唯一解，故. 3. 找出下面的四个向量中哪个不能由其余三个向量线性表示： . 解：,不能. 4. 设向量组， (1) 取何值时，向量是向量的线性组合，并写出时的表达式； (2) 取何值时，向量不能由线性表示 . 解：， (1) ; (2) . 5. 证与等价，已知, ,. 证 以,,,分别作矩阵与，因 其中，因此,与等价，,与等价，由等价的传递性可知,与,等价. 6. 设.如果向量组线性无关，求实数的取值范围. 解：设，则由可知时无关. 7. 讨论下列向量组的线性相关性. (1) ； (2) . 解：(1)不论取何值，都无关; (2) 相关，无关. 8. 设向量是由个维向量组成，如果对任何一组不全为零的数，都有,那么是否一定线性无关？ 解：不一定.因为根据定义，只要存在一组不全为零的数就行. 9. 设，证明向量组 线性相关. 证 ：设有使得,即 ， 即. (1) 若相关，则存在不全为零的数且 ，由不全为0知不全为0，即线性相关. (2) 若线性无关，则 ，即，由知方程组有非零解，即线性相关. 10. 若向量组线性无关，而 , 试证线性无关. 证 设，即 ， 由于线性无关，则，此方程组只有零解.故线性无关. 习题4.3 1. 证明向量组与向量组有相同的秩的充要条件是可由向量组线性表示. 证 证法一 充分性 若可由线性表示，则与等价，从而有相同的秩. 必要性因与有相同的秩，若设，，则与经初等变换后有相同的非零列数，因此可由线性表示. 证法二 设，，且与有相同的秩，与相同的解，所以有唯一解，所以，即可由线性表示. 2. 设，证明向量组与向量组有相同的秩. 解 由已知条件，可由线性表示，且，即可由线性表示，所以等价. 3. 求下列向量组的秩及一个极大线性无关组： (1) ； (2), . 解(1) 线性无关，且，故向量组的秩为2，而且是一个极大无关组. (2) 的前3个向量构成的矩阵，则，故线性无关，令，它有非零解，故相关，同理证相关. 4. 设都是阶方阵，且是可逆的，若的秩是，的秩是，证明. 证 由的秩不大于或的秩，得，又,得，故. 5. 若向量组的秩为，则中任意个线性无关的向量都可以作为它的一个极大线性无关组. 证 设 (1) 是中任意个线性无关的向量，由于向量组的秩为，故原向量组中任何多于个向量的向量组必线性相关，所以线性相关，从而(1)为原向量组的极大线性无关组. 6. 设是矩阵，是矩阵，并设的秩为，的秩为，的秩为，证明. 证 设，，令表示的行向量， 表示的行向量，则，故.令表示的列向量，表示的列向量，则，因此，即. 习题4.4 1. 证明由所生成的向量空间就是. 证 设，则，于是，则无关，为3维，秩为3，所以为基，故由生成的向量空间是. 2. 在中，, ,，求由生成的子空间的维数和一组基. 解 ，可知是极大无关组，维数为3，即为基. 3. 在中取两组基： I 与 II (1)求I到II的过渡矩阵，并写出基变换公式； (2)写出对应的坐标变换公式，并求出向量在基II下的坐标； (3)求在基I和基II下的坐标相同的所有向量. 解(1)过渡矩阵，基变换公式 (2)坐标变换公式，在基II下的坐标是. (3) . 4. 判断下列方程组是否有非零解： (1) (2) (3) 解 (1) ，则 ，方程组只有唯一解，即零解，所以无非零解； (2) 方程组未知量个数，方程个数，因为，所以方程组有非零解； (3) ，故，所以方程组有非零解. 5. 试求齐次线性方程组 的解空间的维数和一组基. 解 , ,基础解系含有3个解向量，求出一组基即可