第06讲 微分方程及其应用.pdfVIP

第六讲 微分方程及其应用 考试内容 常微分方程的基本概念 变量可分离的方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 伯努利（Bernoulli）方程 全微分方程 可用简单 的变量代换求解的某些微分方程 可降阶的高阶微分方程 线性微分 方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程 高于 二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶常系数非齐次线性 微分方程 欧拉（Euler）方程 微分方程简单应用. 数 3：差分与差分方程的通解与特解, 一阶常系数差分方程的简单应用. 考试要求 1．了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念． 2．掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法． 3．会解齐次方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换 解某些微分方程 ′′ ′′ ′ ′′ ′ 4．会解可降阶方程： y f (x ), y f (x , y ) 和 y f (y , y ) .． 5．理解线性微分方程解的性质及解的结构定理． 6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶 的常系数齐次线性微分方程。 7．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它 们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程． 8．会解欧拉方程． 9．会用微分方程解决一些简单的应用问题． 数 3：了解差分与差分方程的通解与特解等概念, 一阶常系数差分方 程的求解. 1 6.1 常微分方程的基本概念 微分方程：包含未知函数的导数或微分的方程式称为微分方程 微分方程的阶: 方程中最高阶导数的阶数称为该微分方程的阶. n n ( ) ′ (n−1) 阶微分方程的一般表示: y f (x , y , y ,..., y ) 微分方程的解: 满足微分方程的函数，称为该方程的解 n n 通解 : 阶微分方程的包含 个独立任意常数的解，称为其通解 n n ( ) ′ (n−1) 阶微分方程y f (x , y , y ,..., y ) 的通解为: 显函数形式：y (x ) ϕ(x,c ,c ,...,c ) , 1 2 n 或隐函数形式 Φ(x, y ,c ,c ,...,c ) 0 . 1 2 n 不是通解的微分方程的解, 称为微分方程的特解 n n 初值问题: 对 阶微分方程,附加 个定解条件如下, 即 n ⎧ ( ) ′ (n−1) y f (x , y , y ,..., y ) ⎪ ⎨