第03章 微分中值定理与导数的应用习题详解 高等数学 郭正光 方明亮.pdfVIP

第三章 微分中值定理与导数的应用 习题 3-1 1.解：（1）虽然f (x ) 在[−1,1]上连续，f (−1) f (1) ，且f (x ) 在(−1,1) 内可导。可见，f (x ) 在[−1,1]上满足罗尔中值定理的条件，因此，必存在一点ξ ∈(−1,1) ，使得f ′(ξ) 0 ，即： −12ξ 2 2 0 ，满足，ξ 0 ； (2ξ +1) （2）虽然 x 0 f (x ) 在[−1,1]上连续，f (−1) f (1) ，但f (x ) 在(−1,1) 内 点不可导。可见， 1, 0 1 ⎧ x ′ ⎪ f (x ) 在[−1,1]上不满足罗尔中值定理的条件，且 ( ) ,因此不存在一 f x ⎨ 不存在, x =0 ⎪ 1, 1 0 x ⎩− − 点ξ ∈−( 1,1) ，使得f ′(ξ) 0 . 2.因为函数是一初等函数，易验证满足条件. 3 ′ 3 3 −12x 2 3．解 ：令 y 3arccos x =−arccos(3x −4x ) ， y =− + ，化简得 2 3 2 1−x 1−(3x −4x ) ′ C −0.5 ≤x ≤0.5 y 0,=∴y C （ 为常数），又y (0.5) π ，故当 ，有y (x ) π 。 π π ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ 4 ． 证 明 ： 显 然 f (x ), F (x ) 都 满 足 在 0, 上 连 续 ， 在 0, 内 可 导 ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ 2 2