行列式计算方法技巧.pdfVIP

论行列式的计算方法 黄正敏 （莆田学院数学系2002 级，福建 莆田） 摘要：归纳行列式的各种计算方法，并举例说明了它们的应用，同时对若干特殊 例子进行推广。 关键词：行列式；范德蒙行列式；矩阵；特征植；拉普拉斯定理；析因法；辅助 行列式法 行列式的计算灵活多变，需要有较强的技巧。当然，任何一个 n 阶行列式都可以由它 的定义去计算其值。但由定义可知，n 阶行列式的展开式有 n!项，计算量很大，一般情况下 不用此法，但如果行列式中有许多零元素，可考虑此法。值的注意的是：在应用定义法求非 零元素乘积项时，不一定从第 1 行开始，哪行非零元素最少就从哪行开始。接下来要介绍计 算行列式的两种最基本方法――化三角形法和按行（列）展开法。 方法 1 化三角形法 化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。 这是计算行列式的基本方法重要方法之一。因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形 行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。 原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。但对于阶数高的行列 式，在一般情况下，计算往往较繁。因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作 为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。 例 1：浙江大学 2004 年攻读硕士研究生入学考试试题第一大题第 2 小题（重庆大学 2004 年攻读硕士研究生入学考试试题第三大题第 1 小题）的解答中需要计算如下行列式的值： 1 2 3 n −1 n 2 3 4 n 1 D 3 4 5 1 2 n n 1 2 n 2 n 1 − − [分析]显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式 的性质。注意到从第 1 列开始；每一列与它一列中有 n-1 个数是差 1 的，根据行列 式的性质，先从第 n-1 列开始乘以－1 加到第 n 列，第 n-2 列乘以－1 加到第 n-1 列，一直到第一列乘以－1加到第2列。然后把第 1 行乘以－1 加到各行去，再将其 化为三角形行列式，计算就简单多了。 解： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1−n 1 0 0 0 −n (i 2, , n) D 3 1 1 1−n 1 2 0 0 −n 0 n r r i 1 n −n n − −n 1 1 1 1 1 0 0 0 1+ +n 0 0 0