2013高考数学秒杀必备：数列通项公式的若干求法及转化思想论文.docVIP

数列通项公式的若干求法及转化思想 求通项公式是学习数列时的一个难点。由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强。现举数例。 观察法 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而 根据规律写出此数列的一个通项。 例1 ：已知数列 写出此数列的一个通项公式。 例2：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）4，44，444，4444，… （2） （3） （4） 公式法 （1）当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。 例1： 已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数f (x) = (x－1)2，且a1 = f (d－1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q－1)， 求数列{ a n }和{ b n }的通项公式； （2）已知数列的前n项和求通项时，通常用公式。 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”即a1和an合为一个表达式。 例1、已知数列的前n项和为：① ② 求数列的通项公式。 三． 由递推式求数列通项 对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。称辅助数列法。 例题：已知数列｛｝中，，，写出数列的前5项。（课本习题）。 变式1：已知数列｛｝中，，。求 变式2：已知数列｛｝中，，。求 变式3：已知数列｛｝中，，。求 变式4：已知数列｛｝中，，。求 变式5：已知数列｛｝中，，。求 变式3：已知数列｛｝中，，。求 变式6：已知数列｛｝中，，。求 变式7：已知数列｛｝中，，。求 变式8：已知数列｛｝中，，。求 类型Ⅰ：（一阶递归） 由等差，等比演化而来的“差型”，“商型”递推关系 ①等差数列： 由此推广成差型递推关系： 累加： = ，于是只要可以求和就行。 类型1 递推公式为 解法：把原递推公式转化为，（特殊情形：⑴.（差后等差数列）⑵ （差后等比数列）） 利用累加法求解。 例1．已知｛｝满足，且，求 例2．已知｛｝满足，且，求 例3．已知｛｝满足，且，求 例4. 已知数列满足，求。 ②等比数列： 由此推广成商型递推关系： 累乘： 类型2递推公式为 解法：（1）把原递推公式转化为，利用累乘法求解。 例1．已知｛｝满足，且，求 例2．已知｛｝满足，且，求 例4．（1）. 已知数列满足，求。 例题1。已知数列满足： 求证：① ②是偶数 （由和确定的递推数列的通项可如下求得： （2）由已知递推式有 依次向前代入，得 ，简记为。 这就是叠代法的基本模式。 例3已知，求。 解： 。 1、已知数列{an}满足，求{an}的通项公式 类型3 递推公式为（其中p，q均为常数，）。 解法：把原递推公式转化为： 其中，再利用换元法转化为等比数列求解。 例1. 已知数列中，，求。 类型4 递推公式为（其中p，q均为常数，）。 解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得： 引入辅助数列（其中），得： 再应用类型3的方法解决。 例1. 已知数列中，，求。 例2. 已知数列中，，求。 类型5。型的 利用转化为型，或型 即混合型的转化为纯粹型的 例题1． 已知数列的前n项和Sn满足 (Ⅰ)写出数列的前3项 (Ⅱ)求数列的通项公式; ---------------① 由得----------------② 由得，，得--------------③ 由得，，得---------④ 用代得 -----------⑤ ①—⑤： 即----------------------------⑥ ---------------------------⑦ 例题2。数列的前n项和记为Sn，已知证明： 数列是等比数列；（全国卷（二）理科19题） 方法1∵ ∴ 整理得 所以 故是以2为公比 的等比数列. 方法2：事实上，我们也可以转化为，为一个商型的递推关系， 由= 1．｛｝是正数组成的数列，前n项和为，对所有的n，与2的等差中项等于与2的等比中项 （1）写出｛｝的前三项； （2）求｛｝的通项。 2．在数列｛｝中，已知，求 3．已知数列{an}的前n和满足求此数列的通项公式。 4． 已知数列前n项和。 （1）求与的关系；（2）求通项公式。 5．（北京卷)数列的前n项和为Sn，且，求： （Ⅰ）的值及数列的通项公式； （Ⅱ）的值.