函数与方程思想 佘维平.docVIP

补充类型一 选主元构造二次函数解决参数或最值问题 例 1 设二次函数f(x)=ax2+bx+c(abc),已知f(1)=0,且存在实数m,使f(m)=－a. （1）试推断f(x)在区间上是否为单调函数，并说明你的理由； （2）设g(x)=f(x)+bx, 对于x1,x2∈R，且x1≠x2，若g(x1)=g(x2)=0,求|x1－x2|的取值范围； （3）求证：f(m+3)0. 分析 借助二次函数解决范围和代数证明问题。 解析 （1） ∴方程有实根 （2）据题意x1, x2是方程的两实根.选主元化归 （3） 例2 已知，t∈[，8]，对于f(t)值域内的所有实数m， 不等式恒成立， 求x的取值范围。 思维启动点：① 由条件先求出函数值域，即m的取值范围； ② 注意观察所给不等式，它关于x是个二次不等式，但关于m却只是个一次不等式！ 因此我们可以考虑替换主元。 解析：∵t∈[，8]，∴f(t)∈[，3] 原题转化为：0恒成立，为m的一次函数（这里思维的转化很重要） 当x＝2时，不等式不成立。 ∴x≠2。令g(m)＝，m∈[，3] 问题转化为g(m)在m∈[，3]上恒对于0， 则：； 解得：x2或x－1 反思提炼： 首先明确本题是求x的取值范围，这里注意另一个变量m，不等式的左边恰是m的一次函数，因此依据一次函数的特性得到解决，若以x为主元去解决这个问题要麻烦许多！在多个字母变量的问题中，选准为“主元”往往是解题的关键。 二次函数与不等式的知识交汇，凸现不等式和函数之间的依赖关系，借助条件构建不等式并探求变量的范围，作为函数定义域，根据目标和韦达定理建立等式，消元思想将问题化归二次函数在区间上的最值问题。利用根的意义确定整体，再利用函数单调性确定大小关系。 类型二 函数观念认识不等式，构造对号函数解决问题 例3 已知集合． 其中为正常数． （1）设，求的取值范围． （2）求证：当时，不等式对任意恒成立； 分析 不等式转化函数问题，借助函数性质求解。 解析 （1），当且仅当时等号成立，故的取值范围为． （2）变形，得 ， 由，又，，∴在上是增函数， 所以． 即当时不等式成立． 反思 不等式恒成立问题可以通过变形，进而转化为两函数值之间的关系，通过换元化归为基本初等函数的复合函数用单调性解决，这是等价转化思想和函数思想的具体应用。参数范围问题，分离参数化归初等函数的复合函数单调性解决 这也是高考命题的热点。函数和不等式学习中凸显对不等式的两种不同认识，一是同一函数，其函数值不等时所满足的关系，可构建函数单调性简化求解；二是两个不同函数，其函数值之间所满足的关系，可研究两函数的位置关系，用数形结合法求解简单 类型三 函数的思想和方法简化求解方程问题 例 5 方程在上的根的个数（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.4个 分析 认识方程根的意义,化归两函数图象的交点,借助换元法切入, 解析 令x=sinθ,y=cosθ,则且，作图可知它们有两个交点， 所以原方程有两根。故选C。 例6 设函数，则满足方程根的个数是 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．无数个 解析1：画出f（x）和g（x）在同一坐标系中函数图象，由图5中不难看出有三个交点，故选C 解析2：①当时，，则 ②当时，，则 ③当时，，则 ④当时，，则 ⑤当时，，则 由此下区x的解成指数增长，而区间成正比增长，故以后没有根了！所以应选C ； 例7 函数的定义域是，则实数的取值范围是（）A、 B、C、 D、首先应有02a1，及-x2+log2ax0（对任意的x∈(0,)恒成立）. 构造函数y1= log2ax及y2=x2，log2axx2， 只要对x∈(0,)有y1 y2. 由图可看出若两函数相交于x=，此时=（）2 得a=， 而由对数性质有，log2ax， 所以≤a. 类型四 整体变量观念 构造函数解或证明不等式 例4 不等式 的解集为 A B C D 解法 1 特值法 “选择支验证”，取特值易选C； 解法2 通性通法 不等式变形为 ， 整体变量（）认识，构造函数， 例6 已知且，函数当时恒有成立，则实数的取值范围是 A B． C． D． 考查目的：与超越函数有关的参量问题，可通过不等变换，转化成函数比较大小求参量，再利用数形法求解。 解析：设函数，则当时，不等式等价转化为．在同一坐标系内作函数的图象，如图， 当时，得；当时，，得．n的不等式1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(2n) 对于一切大于1的自然数n都成立，求a的取值范围 考查目的：这道题目是一道典型的数列、函数、不等式的转化问题，先从不等式中提炼出函数模型