【南京一轮复习】第八章 复数、算法、统计与概率.docVIP

第八章 复数、算法、统计与概率 【章节知识网络化】 【考纲要求能级化】 内 容 要 求 A B C 复数 复数的有关概念 √ 复数的四则运算 √ 复数的几何意义 √ 算法 算法的有关概念 √ 流程图 √ 基本算法语句 √ 概率、统计 抽样方法 √ 总体分布的估计 √ 总体特征数的估计 √ 变量的相关性 √ 随机事件与概率 √ 古典概型 √ 几何概型 √ 互斥事件及其发生的概率 √ 统计案例 √ 第1课时 复数的概念及其运算 ※考纲链接理解复数的基本概念代数表示法以及复数相等的充要条件能进行复数代数形式的四则运算 了解复数几何意义了解复数代数形式的加、减运算的几何意义的数，叫做复数，a称为 ，b称为 .当时，为实数；当时，为虚数；当时，为纯虚数. 2．两个复数相等的充要条件 . 3．复数的四则运算 设.（1）复数的加减法： ；（2）复数的乘法： ；（3）复数的除法：若 . 4．复数的模的几何意义 （1）与平面向量的模是一致的，若设， ； （2）若设，则= .所以的几何意义为复平面内两点间的距离. 基础重现答案：1. 实部，虚部 2. 3. (1) (2) (3) 4. ， ◎思维升华： 1.的运算结果有什么规律？计算　　 　　　. 2. 设，则　　，　　　，　　　，　　　. 3．（其中是复数对应的点）复数对应的点Z的轨迹是什么？ 思维升华答案：1. 的运算结果是呈周期（4为周期）性出现，0 2. 1，,1，0 3. 以点为焦点的椭圆 ※ 基础自测 1. （2010·湖南文）复数等于 . 答案： 2．（2010·陕西文）复数在复平面上对应的点位于，则　　，　　. 答案： 解析：由可得，所以，解得， 4．（2010·北京文）在复平面内，复数, 对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是 . 答案： 解析：，，即点C对应的复数是 5．设复数z满足（其中为虚数单位），则的模为　　　　　. 答案：2　解析：，，又. 【课堂师生共探】 ※ 经典例题 ○题型一　复数的概念 例1 已知，复数,当为何值时， （1）；（2）是纯虚数；（3）对应的点位于复平面第二象限；（4）对应的点在直线上. 分析：把复数整理成的形式，明确复数的实部与虚部，由实部与虚部满足的相关条件，列出方程（组）或不等式（组）进行求解. 解：（1）当为实数时,则有且 得，故时，. （2）当为纯虚数时,则有 解得m=0，或m=2.∴当m=0或m=2时，为纯虚数. （3）当对应的点位于复平面第二象限时, 则有 解得m＜-3或1＜m＜2，故当m＜-3或1＜m＜2时，对应的点位于复平面的第二象限. （4）当对应的点在直线上时, 则有＋, 得＝0，解得m=0或m=－1±. ∴当m=0或m=－1±时，对应的点在直线上. 点评：复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件. 变式训练：实数分别取什么数时，复数是 （1）实数；　　　（2）虚数；　　（3）纯虚数. 解析：， 由，可知的实部为，虚部为. 要使为实数，必有，所以. 要使为虚数，必有，. 要使为纯虚数，必有，所以. ○题型二　　复数的相等 例2　已知复数.若 ，求的取值范围. 分析:　由复数相等的充要条件建立方程组求解. 解：∵，∴， 由复数相等的条件，得, ∴ , ∵, ∴当时，；当时，, ∴-≤≤7. 点评：两个复数相等只要其实部和虚部分别相等即可. 变式训练：已知关于的方程组：有实数解，求的值（其中）. 解析：由题意得，且，求得，. ○题型三　　复数的四则运算 例3 计算下列各题： （1）－1+()2012； （2）. 分析：直接运用复数的四则运算法则. 解：（1）-1+()2012=－1+i2012=－1+i4×502+4=－1+i4=0 （2）＝ ＝＝＝＝. 点评：要注意这一条件的应用，有时可通过变形，使分子、分母产生了公因式后约分可简化运算. 变式训练：计算. 解析：. ○题型四 复数的几何意义 例4已知复数. （1）求；　（2）若，求的最大值. 分析：表示以原点为圆心的单位圆上的点到复数对应的点的距离. 解：（1）∵，∴. （2）∵，∴复数对应的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，而复数对应的点是（2，－2），所以表示的是单位圆上的点与定点（2，－2）的距离