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数列与不等式专题 一．高考说明剖析 江苏省2005年高考数学考试大纲，对于《不等式》一章的考试内容及考试要求为：(1）理解不等式的性质及其证明。(2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。(3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。(4)掌握简单不等式的解法。(5)理解不等式│a│-│b││a+b│≤│a│+│b│。对于《数列》一章的考试内容及考试要求为：(1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。(2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，能解决简单的实际问题。2004年高考数学试卷中不等式与数列所占的权重都分别考了一个填空题和一个解答题(数列为第20题，不等式为第22题)。其它省份的数学试卷以及全国数学试卷也都在不同程度上体现了数列与不等式的重点地位。由此可以看出，不等式和数列是传统高考考查的重点内容，也是新高考考查的重点内容。还应指出的是：数列、不等式也是《新课标》必修模块5的内容。因此，我们有理由相信：不等式、数列内容仍将是今年高考考查的重点。 二．高考试题研究 例1．(2004年江苏高考20题) 设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn。 ⑴若首项a1＝，公差d＝1，求满足＝(Sk)2的正整数k； ⑵求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有＝(Sk)2成立。 学生正确理解了有关符号，不难得出本题的正确结果。其中，第二句话具有高等数学的语言味道。 例2．(2004年江苏高考22题) 已知函数f(x)(x∈R)满足下列条件：对于任意的实数x1、x2，都有λ(x1－x2)2≤(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]和｜f(x1)－f(x2)｜≤｜x1－x2｜，其中λ是大于0的常数。 设实数a0、a、b满足f(a0)＝0和b＝a－λf(a)。 (Ⅰ)证明：λ≤1，并且不存在b0≠a0，使得f(b0)＝0； (Ⅱ)证明：(b－a0)2≤(1－λ2)(a－a0)2； (Ⅲ)证明：[f(b)]2≤(1－λ2)[f(a)]2。 本题具有高等数学背景，字母多，函数抽象，学生无从下手，得分度极低，区分度极差。从某种意义上讲，经过直觉判断后95％学生可放弃解答本题。 例3．(2004年全国高考数学试卷二19题) 数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，an+1＝Sn(n＝1，2，3，…)。证明：⑴数列{}是等比数列；⑵Sn+1＝4an。 解答本题，有两个方面的素养必须具备，一是正确理解符号{}的意义，二是把握项与和的关系（消项留和）。 例4．(2004年北京高考18题) f(x)是定义在[0，1]上的增函数，f(x)=2f()且f(1)＝1，在每个区间(，］(i=1，2，3，…)上，y=f(x)的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分。 ⑴求f(0)及f()、f()的值，并归纳出f()(i=1，2，3，…)的表达式； ⑵略 解答本题必须具有识别数列模式的能力。 例5．(2004年北京高考20题)给定有限个正数满足条件T：每个数都不大于50且总和L＝1275。现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是：首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差r1与所有可能的其它选择相比是最小的，r1称为第一组的余差；然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这里的余差为r2；如此继续构成第三组(余差为r3)、第四组(余差为r4)、…，直至第N组(余差为rN)把这些数全部分完为止。 ⑴判断r1，r2，…，rN的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数； ⑵当构成第n(n＜N)组后，指出余下每个数与的rn的大小关系，并证明rn-1＞； ⑶对任何满足条件T的有限个正数，证明：N≤11（本题是理科试题最后一题）。 阅读本题要有足够的耐心；解答本题要会捕捉有用信息；完整解答本题，需要对不等式变换特别是放缩法有较高的技能；第1小题多数学生可以做出来，不难逻辑分析出来，也能够直觉猜想出来。 三．高考命题展望 回顾2004年江苏省高考数学试卷，并纵观别的省份的高考数学试卷，都有一个共同的特点，就是一改近几年高考数学试卷难度偏大，体现了对学生分层要求（全体学生的要求，多数学生的要求，少数学生的要求），让每个学生都有成功感。 江苏省2004年高考数学试卷与2003年高考数学试卷相比，难易程度明显降低，相对来说是比较平妥的。但有一点未变，这就是突出考查主干知识和基本能力。这是因为主干知识和基本能力是支撑知识体系的主要内容，高考时必须保持较高的比例予