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等度区间族覆盖数轴的应用 页码，1/10 等度区间族覆盖数轴的作用 邢家省 ） （北京航空航天大学数学系，数学、信息与行为教育部重点实验室,北京100083 摘 要 ：利用等度区间族覆盖数轴的简单知识，给出了有理数对实数逼近的表示方式及其应用；对带 余除法公式给出了直观的证明和应用，对分析中的一些结果给出了统一的处理方法. 关键词 ：等度区间族；带余除法公式；最大公因数的性质. 中图分类号:O177.2  文献标识码:A 等度区间族覆盖数轴是非常简单的几何直观知识，使用它可以证明出的一些结果是容易接受的.然而 此技术的使用方面是分散在各处，没有形成一个统一的技术方法.我们发现利用等度区间族覆盖数轴的这 一简单知识可以使许多结果得到统一的技术处理，给出了有理数对实数逼近的表示方式及其应用；对带余 除法公式给出了直观的证明，给出了分数必可表示为有限小数或无限循环小数的证明，给出了整数的最大 公因数性质的证明.并对一致连续函数的有界性，广义积分的一些性质等给出了证明.这些结果虽然是早就 有的，然而它们的证明是分散在各处，没有形成一个统一的方法技巧.从理论上讲，等度区间族后来发展 为 ε-网族及开覆盖理论，然而许多结果的证明用等度区间族覆盖就够了，后来的理论发展就是突破解决 了用等度区间族覆盖不能解决的问题.充分使用等度区间族覆盖思想方法去解决问题，也为理解应用有限 覆盖理论提供了思维训练和方法准备. 正整数的集合记为 N * ；整数的集合记为 Z ；有理数形成的集合记为 Q . 对任意正实数 δ 0 ，区间族 [p δ, (p +1)δ) ，（ p ∈Z ）盖着（覆盖）了整个数轴，每一个实数 x x （每一个点） 位于这些区间中的一个区间，这就是说，对于任意固定的实数（每一个点） ，一定可 以 找 到 一 个 整 数 m ，使 得 x ∈[mδ,(m +1)δ) ，即 得 mδ≤x (m +1)δ ， x mδ+r ， 0 ≤x δ . 1 设 q 是任意给定正整数，把单位长度分成 q 等份，找出代表 q 的那一点；从而，对任何整数 p ，便 p p 不难找出代表 q 的那一点，于是任何有理数 q 都可在数轴上表示出来. 收稿日期： 基金项目： 北京市级精品课程建设项目基金资助， 北京航空航天大学校级精品课程建设项目基金资助. 作者简介：邢家省（1964--）男，河南泌阳人,副教授,从事教学和科研工作. 1 有理数逼近实数的表示方式 p 1 对于任意固定的正整数 q ，如今让 p 遍取所有的整数，那么 q 这些数把数轴分成一些长度为 q 的区 file://E:\教学\数学分析\gksxfxjpk\jxlw\jxlw10.htm 2009-6-13 等度区间族覆盖数轴的应用 页码，2/10 p p +1 [ , ) 间，区间族 q q （p 遍取所有的整数）就覆盖着了整个数轴. 每一个实数（每一个点） x 位于这些区间中的一个区间，这就是说，对于任意固定的实数（每一个 p p +1 p p +1