数列综 合复习资料.docVIP

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位，是高考数学的主要考察内容之一，试题难度分布幅度大，既有容易的基本题和难度适中的小综合题，也有综合性较强对能力要求较高的难题。大多数是一道选择或填空题，一道解答题。解答题多为中等以上难 度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题经常是综合题，把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。 应用问题有时也要用到数列的知识。 数列试题形态多变，时常有新颖的试题入卷，学生时常感觉难以把握。为了在高考中取得好成绩，必须复习、掌握好数列这一板块及其相关的知识技能，了解近几年来高考中数列试题的能力考察特点，掌握相关的应对策略，以培养提高解决数列问题的能力。 第一讲：数列基础知识的梳理 数列是按一定顺序排列好的一列数。它可以理解为以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数。运用函数的观 念分析 和解决有关数列问题，是一条基本思路。递推是数列特有的表示法，它更能反映数列的特征。 等差数列和等比数列是两个基本的数列，除了要熟练掌握这两个数列的通项公式和求和公式外，还要掌握以下基本性质： 在等差数列中{an}中，an=am+(n-m)d或d=(n,m∈N+); 若m+n=p+ q,则an+am=ap+aq (m,n,p,q∈N+). 在等比数列中{an}中，an=am qn-m, (n,m∈N+); 若m+n=p+q,则an am=ap aq (m,n,p,q∈N+). 对于非等差等比的数列，要用转化的思想，转化成和等差、等比有关的数列。 一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。 （2）由递推公式求通项。 对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 递推式为an+1=an+d 及an+1=qan（d，q为常数） 【例1】? 已知{an}满足an+1=an+2，而且a1=1。求an。 解? ∵an+1-an=2为常数 ∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列 ∴an=1+2（n-1） 即an=2n-1 递推式为an+1=an+f（n） 解： 由已知可知 令n=1，2，…，（n -1），代入得（n-1）个等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1） 说明 ?只要和f（1）+f（2）+…+f（n-1）是可求的，就可以由an+1=an+f（n）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求an。 递推式为an+1=p an+q（p，q为常数） 【例4】 {an}中，a1=1，对于n＞1（n∈N）有an=3an-1+2，求an。 解法一： an+1=3an+2，an=3an-1+2。 两式相减：an+1-an=3（an-an-1） 因此数列{an+1-an}是公比为3的等比数列，其首项为a2-a1=（3×1+2）-1=4 ∴an+1-an=4·3n-1 ∵an+1=3an+2? ∴3an+2-an=4·3n-1 即 an=2·3n-1-1 解法二： {an+1-an} 是公比为3的等比数列，于是有： a2-a1=4，a3-a2=4·3，a4-a3=4·32，…，an-an-1=4·3n-2， 把n-1个等式累加得： ∴an=2·3n-1-1 解法三：an+1=3an+2，可以化为an+1-t=3（an-t）， 即是an+1=3an-2t ∴2=-2t? ∴t=-1， 于是得an+1+1=3（an+1），数列{an+1}是公比为3的等比数列，其首项为a1+1=2 ∴an+1=2·3n-1即an =2·3n-1-1 ④递推式为an+1=pan+qn（p，q为常数） 由上题的解法，得： ∴ ③的方法解。 ⑤递推式为an+2=pan+1+qan 思路：设an+2=pan+1+qan可以变形为：an+2-αan+1=β（an+1-αan）， 于是{an+1-αan}是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型。 求an。 个等式累加得 ⑥递推式为Sn与an的关系式 关系；（2）试用n表示an。 ∴ ∴ ∴ （2）两边同乘以2n+1得2n+1an+1=2nan+2则{2nan}是公差为2的等差数列。 ∴2nan= 2+（n-1）·2=2n 2．数列求和问题的方法 （1）、应用公式法 等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。 1＋3＋5＋……＋(2n-1)=n2 【例8】 求数列1，（3+5），（7+9+10），（13+15+17+19），…