高中数学不等式解题漫谈.docVIP

不等式解题漫谈 一、活用倒数法则 巧作不等变换——不等式的性质和应用 不等式的性质和运算法则有许多,如对称性,传递性,可加性等.但灵活运用倒数法则对解题,尤其是不等变换有很大的优越性. 倒数法则：若ab0,则ab与等价。 此法则在证明或解不等式中有着十分重要的作用。如：（1998年高考题改编）解不等式loga(1-)1. 分析：当a1时，原不等式等价于：1-a,即 1-a ,∵a1,∴1-a0, 0,从而1-a, 同号，由倒数法则，得x; 当0a1时，原不等式等价于 01- a,∴1-a1, ∵0a1，∴ 1-a0, 0, 从而1-a, 同号，由倒数法则，得1x; 综上所述，当a1时,x∈(,+∞)；当0a1时，x∈(1,). 注：有关不等式性质的试题，常以选择题居多，通常采用特例法,排除法比较有效。 二、小小等号也有大作为——绝对值不等式的应用 绝对值不等式：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。这里a,b既可以表示向量，也可以表示实数。 当a,b表示向量时，不等式等号成立的条件是：向量a与b共线； 当a,b表示实数时，有两种情形：（1）当ab≥0时，|a+b|=|a|+|b|, |a-b|=||a|-|b||;(2)当ab≤0时，|a+b|=||a|-|b||, |a-b|=|a|+|b|.简单地说就是当a,b同号或异号时，不等式就可转化为等式（部分地转化），这为解决有关问题提供了十分有效的解题工具。如： 若1,则下列结论中不正确的是（ ） A、logablogba B、| logab+logba|2 C、(logba)21 D、|logab|+|logba||logab+logba| 分析：由已知，得0ba1,∴a,b同号，故|logab|+|logba|=|logab+logba|，∴D错。 [答案] D 注：绝对值不等式是一个十分重要的不等式，其本身的应用价值很广泛，但在高考或其他试题中常设计成在等号成立时的特殊情况下的讨论，因此利用等号成立的条件（a,b同号或异号）是解决这一类问题的一个巧解。 三、“抓两头 看中间”，巧解“双或不等式”——不等式的解法 （1）解不等式（组）的本质就是对不等式（组）作同解变形、等价变换。 （2）多个不等式组成的不等式组解集的合成——先同向再异向 不等式组的解法最关键的是最后对几个不等式交集的确定。常用画数轴的方法来确定,但毕竟要画数轴.能否不画数轴直接就可得出解集呢?下面的方法就十分有效。可以“先同向再异向”的原则来确定，即先将同向不等式“合并”（求交集），此时“小于小的，大于大的”；最后余下的两个异向不等式，要么为空集，要么为两者之间。 如解不等式组:, 先由③④(同)得x0(大于大的);再由①②(同)得x1(小于小的);再将x0与x1分别与⑤作交集,由x0与⑤得0x2;由x1与⑤得-1x1.这样所得的不等式的解集为(0,1). （3）双或不等式组的解集合成 形如的不等式组称为“双或”型不等式组（实际上包括多个“或”型不等式组成的不等式组也在此列），这是解不等式组中的一个难点。解决这类不等式组时常借用数轴来确定，但学生在求解时总会出现一些错误。这里介绍一种不通过数轴的直接方法：“抓两头 看中间”！如：,先比较a,b,c,d四个数的大小，如abcd,则其解集中必含有xa或xd（即抓两头）；再看xb与xc的交集，若有公共部分，则bxc;若无公共部分，则此时为空集（看中间），最后将“抓两头”和“看中间”的结果作并集即为所求的解集。 四、巧用均值不等式的变形式解证不等式 均值不等式是指：a2+b2≥2ab(a,b∈R) ①；a+b≥2( a,b∈R+) ②. 均值不等式是高考的重点考查内容，但其基本公式只有两个，在实际解题时不是很方便。若能对均值不等式进行适当变形，那么在解题时就能达到事半功倍的效果。下面的一些变形式在解题时就很有用，不妨一试。当然你也可以根据需要推导一些公式。如： a2≥2ab-b2 ③; 是将含一个变量的式子，通过缩小变为含两个变量的式子，体现增元之功效，当然反过来即是减元； (2) ≥2a-b ④; (a,b0) 是将分式化为整式，体现分式的整式化作用;试试下面两个问题如何解: 求证：（1）a2+b2+c2≥ab+bc+ac;(2) ++≥a+b+c. (a,b,c0) （析：（1）由a2≥2ab-b2得b2≥2bc-c2 ,c2≥2ac-a2,三式相加整理即得；（2）∵≥2a-b∴同样可得另两式，再将三式相加整理即得）。 (3)ab≤()2 ⑤; 利用不等关系实现两数和与两数积的互化； (4) ⑥;(a,b0) 利用不等关系实现两数和、两数的平方和及两数积之间的转化； 注：涉及两数和、两数的平方和及两数积的问题是一个十分常