高中数学概念教学探究--“从力做的功到向量的数量积“案例分析.docVIP

高中数学概念教学探究案例分析数学概念的教学是培养学生创新精神和实践能力的一个很好的切入点，实践证明：重视并落实数学概念而且。本人的一个教学实例体会： 一、案例 课题活动二：探究数量积的概念 1、物理实例： （1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S， 那么力F所做的功：W= （2）这个公式有什么特点？请完成下列填空： ①W（功）是 量，②F（力）是 量， ③S（位移）是 量，④α是 。 （3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗? （4）如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？ 2、探究数量积的定义 数量积的定义： 已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，我们把数量︱︱·︱︱cosθ叫做与的数量积（或内积），记作：·，即：·= ︱︱·︱︱cosθ （2）定义说明： ①记法“·”中间的“·”不可以省略，也不可以用“ ”代替。 ② “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。 3、两向量夹角的定义 学生讨论，并完成下表： θ的范围 0°≤θ90° θ=90° 90°θ≤180° ·的符号 4、研究数量积的几何意义 （1）给出向量投影的概念： 如图，我们把││cosθ（││cosθ） 叫做向量在方向上（在方向上）的投影， 记做：OB1=││cosθ （2）提出问题5：数量积的几何意义是什么？ （3）尝试练习：一物体质量是10千克，分别做以下运动：①、竖直下降10米；②、竖直向上提升10米；③、在水平面上位移为10米； ④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米；分别求重力做功的大小。? 活动三：探究数量积的运算性质 1、提出问题6： （1）将尝试练习中的① ② ③的结论推广到一般向量，你能得到哪些结论？ （2）比较︱·︱与︱︱︱︱的大小，你有什么结论？ 2、请证明上述结论。 3、明晰：数量积的性质 性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。①e?a = a?e =|a|cos( ②a(b ( a?b = 0③当a与b同向时，a?b = |a||b|；当a与b反向时，a?b = (|a||b|。 特别的a?a = |a|2或④cos( =（|a||b|≠0）⑤ |a(b|≤|a||b| 活动四：探究数量积的运算律 1、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？ 猜想：·= · ② （·）= (·) ③（ + ）· =· + · 2、分析猜想： 猜想①的正确性是显而易见的。 关于猜想②的正确性，请同学们先讨论：猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？ 3、明晰：数量积的运算律： 4、学生活动：证明运算律2 在证明时，学生可能只考虑到λ0的情况,为了帮助学生完善 5、师生活动：证明运算律（3） 活动五：应用与提高 1、学生独立完成：已知︱︱=5,︱︱=4, 与的夹角θ=120°，求·。 2、师生共同完成：已知︱︱=6，︱︱=4, 与的夹角为60°，求（+2 ）·（-3），并思考此运算过程类似于哪种实数运算？ 3、学生独立完成：对任意向量 ，b是否有以下结论： （1）(+)2=2+2·+2 （2）(+ )·(-)= 2—2 4、师生共同完成：已知︱︱=3，︱︱=4, 且 与不共线，k为何值时，向量+k与-k互相垂直？并讨论：通过本题，你有什么体会？ 5、反馈练习 （1）判断下列各题正确与否： ①、若≠0，则对任一非零向量，有·≠0． ②、若≠0，·＝·，则＝． 已知△ABC中，=, =，当· 0或·＝0时，试判断△ABC的形状。 活动六：小结 1、本节课我们学习的主要内容是什么？ 2、平面向量的数量积有哪些应用？ 3、在运算律的探究过程中，渗透了哪些数学思想？ 活动七：布置作业 1、课本P95习题2-5A组1、2、3。 2、拓展与提高： 已知与都是非零向量，且+3 与7 -5垂直，-4与 7-2垂直，求与的夹角。（本题供学有余力的同学选做） 二、案例分析 （一） 本案例遵循新课标以人为本的理念，以启发式教学思想和建构主义理论为指导，采用探究式教学，通过设置问题让学生自主地参与探究，在探究过程中注重学生学习过程的体验和数学能力的发展，。 （二）设计思路 一、教学目标： 1.知识与技能：（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其几何意义.（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系. （3）掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 2.过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识（“做功”）得到向量的数量积的含义及其几何意义.为了帮助学生理解和