北京大学2009年数学分析考研试题及解答.pdfVIP

北京大学2009年 北京大学2009年 北北京京大大学年 数学分析考研试题 数学分析考研试题 数数学学分分析析考考研研试试题题 1、 证明：闭区间上的连续函数能取到最大值和最小值。 2、 设f(x),g(x)是区间I上的有界且一致连续的函数，求证： f(x)g(x)在I上一致连续。 3 、设 是周期为 的连续函数，且其 Fourier 级数 f(x) 2π ∞ a 0 +∑(a cosnx+b sinnx)处处收敛，求证这个Fourier级数处处 2 n=1 n n 收敛到f(x)。 4 、设{a}和{b}都是有界数列，且a +2a =b ，若limbn存 n n n+1 n n n→∞ 在， 求证：liman也存在。 n→∞ 5 、是否存在R→ R的连续可导函数 f(x) 满足： f(x)0 且 f (x)= f(f(x))？′ 6 、已知f(x)是[0,+∞)上的单调连续函数，且lim f(x) =0， x→+∞ +∞ 求证：lim ∫0 f(x)sinnxdx= 0。 n→+∞ 7 、求曲线积分 ∫(y− z)dx+(z− x)dy+(x− y)dz ，这里L 是球面 L 2 2 2 2 2 2 x + y + z =1与(x−1) + (y−1) + (z−1) = 4交成的曲线。 8 、设x,y,z≥ 0，x+y+z=π ，求2cosx+3cosy+ 4cosz的最大最小值。 1 9 、设f(x)∈C(a,b)，且对任何x∈(a,b)，都有lim f(x+h)− f(x−h) ≥ 0， h→0+ h 求证：f(x)在(a,b)上单调不减。 10、 已知 是 上的正的连续函数，且 +∞ 1 ， f(x) [0,+∞) ∫0 f(x)dx +∞ 求证：lim 12 ∫0A f(x)dx= +∞。 A→+∞ A 北京大学2009年数学分析考研试题解答 f [a,b] 1、设函数 在闭区间 上连续，记 M = supf(x)= sup{f(x):x∈[a,b]} ， x∈[a,b] m= inf f(x)= inf{f(x):x∈[a,b]} ， x∈[a,b] * 则必存在 x ,x ∈[a,b]，使得 * * f(x )= M,f(x)= m 。 * 也就是说，有界闭区间上的连 续函数必能取到它在这个区间 上的最大值和最小值。 f [a,b]