15级高一数学不等式证明的基本方法.docVIP

不等式证明的基本方法 一、基本不等式 定理1 如果a, b∈R, 那么 a2+b2≥2ab. 当且仅当a=b时等号成立。 定理2（基本不等式） 如果a，b0，那么 当且仅当a=b时，等号成立。即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。 结论：已知x, y都是正数, （1）如果积xy是定值p，那么当x=y时，和x+y有最小值2 ； （2）如果和x+y是定值s，那么当x=y时，积xy有最大值 小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时， 一 定要满足“一正二定三相等”的条件。 -几何平均不等式 三、不等式证明的基本方法知识点一：比较法变形（分解因式、配方、拆、拼项等）判断符号（判断差与0的大小关系）得结论（确定被减式与减式的大小.　　理论依据：　　①；②；③。一般步骤如下：　　第一步：作差；　　第二步：变形；常采用配方、因式分解等恒等变形手段；　　第三步：判断差的符号；就是确定差是大于零，还是等于零，小于零. 如果差的符号无法确定，应根据题目的要求分类讨论.　　第四步：得出结论。　　注意：其中判断差的符号是目的，变形是关键。2、作商比较法　　常用于单项式大小的比较，当两式同为正时，通过作商变形（约分、化简）判断商与1的大小得结论（确定被除式与除式的大小）. 理论依据：若、，则有① ；② ；③ .　　基本步骤:　 　第一步：判定要比较两式子的符号　　第二步：作商　　第三步：变形；常采用约分、化简等变形手段；　　第四步：判定商式大于1或等于1或小于1。如果商与1的大小关系无法确定,应根据题目的要求分类讨论.　　第五步：得出结论。　　注意：作商比较法一般适合含“幂”、“指数”的式子比较大小。知识点二：分析法知识点三：综合法知识点四：反证法知识点五：放缩法ac，找到不等号的两边的中间量，从而使不等式成立。　　注意：应用放缩法时，放大（缩小）一定要适当。规律方法指导1、不等式证明的常用方法：2、反证法的证明步骤： ③否定假设：由正确的推导导出了矛盾，说明假设不成立；　　④肯定结论：原命题正确。3、放缩法的常用技巧： ③应用函数的单调性、有界性等性质进行放缩；例如：f(x)为增函数，则f(x-1)f(x)f(x+1)　　④应用基本不等式进行放缩。例如：若 ，则有 ；　　　若 ，则有 。　　　这两个结论是实现“累差法”、“累商法”、“降幂”等转化的重要手段 经典例题透析类型一：比较法证明不等式； （2） (a，b均为正数，且a≠b)　　　　　 　　 【变式1】证明下列不等式：　　(1)a2+b2+2≥2(a+b) ； (2)a2+b2+c2+3≥2(a+b+c) ；(3)a2+b2≥ab+a+b-1 　 【变式2】已知a，b∈，x，y∈，且a+b=1，求证：ax2+by2≥(ax+by)2 　总结升华：作差，变形（分解因式、配方等），判断差的符号，这是作差比较法证明不等式的常用方法。例2、用作商比较法证明下列不等式： 　　（1） (a，b均为正实数，且a≠b)　　（2）（a，b，c∈，且a，b，c互不相等）　　　　　　　　　　　　 　　 　 【变式2】已知a，b均为正实数，求证：aabb≥abba 总结升华：当不等号两边均是正数乘积或指数式时，常用这种方法，目的是约分化简. 作商比较法的基本步骤:判定式子的符号并作商变形 判定商式大于1或等于1或小于1 结论。类型二：综合法证明不等式 总结升华：综合法是由因导果，从已知出发，根据已有的定义、定理，逐步推出欲证的不等式成立。【变式】x, y,z∈R+, 求证：　　 类型三：分析法证明不等式　　证明：要证，　　　　　只需证：　　　　　即证：，a2-2ac+c2c2-ab，即证a2+ab2ac，　　　　　∵a0，只需证a+b2c　　　　　∵已知上式成立，∴原不等式成立。总结升华： 　　1．分析法是从求证的不等式出发，分析使之成立的条件，把证不等式转化为判断这些条件是否具备的问题，若能肯定这些条件都成立，就可断定原不等式成立。　　2．分析法在不等式证明中占有重要地位，是解决数学问题的一种重要思想方法。　　3．基本思路：执果索因　　4. 格式：要证……，只需证……，只需证……，因为……成立，所以原不等式得证。【变式1】求证：a3+b3a2b+ab2(a，b均为正数，且a≠b)　 【变式2】a , b, m∈R+，且ab，求证： .　　 【变式3】求证： 【变式4】设x0，y0，