第八章 多元函数微分学 第三节 全微分及其应用.pdfVIP

第三节第三节 全微分及其应用全微分及其应用 第三节第三节 全微分及其应用全微分及其应用 一、一、全微分全微分 一一、、全微分全微分 由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得 由一元函数微分学中增量与微分的关系得由一元函数微分学中增量与微分的关系得 f (x ++ ∆∆x , y ) −− f (x , y ) ++ ∆∆ −− ≈≈ f (x , y )∆∆x ≈≈ ∆∆ x ff ((xx ,, yy ++++ ∆∆∆∆yy )) −−−− ff ((xx ,, yy )) ++++ ∆∆∆∆ −−−− ≈≈ f (x , y )∆∆y ≈≈ ∆∆ y 二元函数二元函数 二元函数二元函数 二元函数二元函数 二元函数二元函数 对对 x 和对和对 y 的的偏微分偏微分 对对 x 和对和对 y 的的偏增量偏增量 对对 和对和对 的的偏偏微分微分 对对 和对和对 的的偏增量偏增量 全增量的概念全增量的概念 全增量的概念全增量的概念 如果函数如果函数z =f (x , y )在点在点P (x , y ) 的某邻域内有定义的某邻域内有定义, 如果函数如果函数 在点在点 的某邻域内有定义的某邻域内有定义 ′′ 并设并设 ′′ 为这邻域内的一点为这邻域内的一点, 则称这两则称这两 并设并设P (x ++ ∆∆x , y ++ ∆∆y ) 为这邻域内的一点为这邻域内的一点 则称这两则称这两 ++ ∆∆ ++ ∆∆ 点的函数值之差点的函数值之差 点的函数值之差点的函数值之差 f (x ++ ∆∆x , y ++ ∆∆y ) −− f (x , y ) ++ ∆∆ ++ ∆∆ −− 为函数在点为函数在点P 对应于自变量增量对应于自变量增量∆∆x , ∆∆y 的的全增量全增量, 记记 为函数在点为函数在点 对应于自变量增量对应于自变量增量∆∆ ∆∆ 的的全增量全增量 记记 为为∆∆z , 即即 为为∆∆ 即即 ∆∆z == f (x ++ ∆∆x , y ++ ∆∆y ) −− f (x , y ) ∆∆ == ++ ∆∆ ++ ∆∆ −− 全微分的定义全微分的定义 全微分的定义全微分的定义 如果函数如果函数z =f (x , y )在点在点(x , y ) 的全增量的全增量 如果函数如果函数 在点在点 的全增量的全增量 ∆∆z == f (x ++ ∆∆x , y ++ ∆∆y ) −− f (x , y ) ∆∆ == ++ ∆∆ ++