5.3不等式的证明.docVIP

5.3　不等式的证明 三维目标 1.知识与技能 会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等证明一些简单的不等式 2.过程与方法 　　认识到利用代数恒等变换以及放大、缩小是证明不等式的常用方法 3.情感、态度与价值观 　　通过证明不等式的训练进一步培养逻辑推理论证能力，培养分析问题、解决问题的能力。 学法指导 　　证明不等式就是要证明所给不等式在给定条件下恒成立，由于不等式的形式多种多样，所以证明不等式的方法也就灵活多样，具体问题具体分析是证明不等式的精髓。证明的关键在于分析欲证的不等式的特点，选择适当的方法。 　　比较法：比较法是最基本、最重要的方法。当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法；当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法；碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。 综合法：从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证的不等式。综合法的放缩经常用到均值不等式。 分析法：不等式两边的联系不够清楚，通过寻找不等式成立的充分条件，逐步将欲证的不等式转化，直到寻找到易证或已知成立的结论。 反证法： 第一步　作出与所证不等式相反的假设 第二步　从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立. 放缩法：把要证的不等式的一边适当地放大（或缩小）以利化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立. 教学重点、难点　 1、重点：证明不等式的常用方法 2、难点：证明不等式时方法的选取及均值不等式的应用和放缩尺度的掌握 课时安排 本课题安排3课时 第一课时　　证明不等式的方法—比较法 学习目标　　 （1）理解用比较法证明不等式的理论依据，掌握比较法证明不等式的步骤 （2）培养学生利用化归思想解决数学问题的能力 教学过程 一、复习回顾 比较两个实数大小的基本方法――差值比较法 ①依据：实数的运算性质与大小顺序之间的关系 ②步骤：作差 　　 变形 符号 结论 ③用途： a、比较两个实数的大小 b、证明不等式的性质 c、证明不等式和解不等式 二、数学应用 例1　已知a、b都是正数，且a≠b，求证：a3 + b3 a2b + ab2 证一：a3 + b3 － （a2b + ab2）＝（a3－ a2b） +（ b3 － ab2） 　　　＝a2(a－b) + b2(b－a) = (a2－b2)(a－b) = (a + b)(a－b)2 ∵a、b都是正数，　∴a + b 0 又∵a≠b，　∴(a－b)2 0 ∴ (a + b)(a－b)2 0 即　a3 + b3 － （a2b + ab2）＞0　 ∴a3 + b3 a2b + ab2 小结：当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法；当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法。 例2已知a b 0,求证：aabb abba 证明： 变：已知a b c 0,求证：a2ab2bc2c ab+cbc+aca+b 例3　甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走，乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果m≠n，问甲、乙两人谁先到达指定地点？　 分析：先建立甲、乙两人走完全程所用的时间t1、t2的表达式，再比较t1、t2的大小，已知行走速度，设出发点至指定地点的路程是S，即可求出t1、t2的关系式。 解：设出发点至指定地点的路程是S，甲、乙两人走完全程所用的时间分别为t1、t2，依题意有 其中S、m、n老都是正数，且m≠n，于是t1－t2＜0，即t1＜t2，从而甲比乙先到达指定地点。 三、总结提炼 数学思想：等价转化 数学方法：比较法—作差、作商 知识点：比较法： （1）依据：实数的运算性质与大小顺序之间的关系 （2）步骤：①作差法：作差→变形→判断差值与0的大小关系 ②作商法：作商→变形→判断商值与1的大小关系（各项为正） 四、作业：P20　习题5.3　1、2、3 教学后记： 第二课时　　证明不等式的方法—综合法和分析法 学习目标　　 ⑴了解综合法的意义及综合法证明不等式的逻辑关系，能用综合法证明不等式. ⑵了解分析法证明不等式的逻辑关系，学会用分析法证明不等式 ⑶培养学生利用综合法进行推理论证的能力 教学过程 一、设置情境 证明不等式： a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca （学生练习师巡视不同证法投影展示） 　证一：∵a2 + b2 + c2 －( ab + bc + ca) = (a2 －2ab + b2 )/2 + (b2 － 2bc + c2)/2+ (c2 －2ca+ a2 )/2 = (a－b)2/2