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第六讲 利用导数证明不等式及导数应用题 1．当时,证明成立. 证：(1)变形:,这是对数函数的增量形式 令 (2)在应用拉格朗日中值定理: (3) 故有 证毕！ 2．证明:成立 证：(1)构造辅助函数,令 (2)在应用拉格朗日定理: (3) 对于 的情形,同理可证. 证毕 3．证明:当时,有成立. 证：(1) 构造辅助函数： ∴令 (2) 在应用拉格朗日中值定理, (3) 是单调增函数 ，故有, 证毕 4．当时,证明成立. 证：(1)令 (2) 在单调减少 (3) 在单调减少,且 故当时, 证毕 5．当时,证明成立. 证：(1)变形, 令 (2) 令 且 从而在单调减少 (3)∵且=0 即有成立 6．当时,证明成立. 证：(1)变形，令 (2) (一阶导数符号不易判定,借助) =且 单调增加 (3)在单调增,且, 故有 证毕 7．当时,证明:成立. 解：(1)令 (2)令,驻点 (3) ，为极小值点. 由单峰原理,是最小值点 最小值 故有,即 证毕 8．设,证明成立. 证：(1)令 (2) 驻点 (3) (4)比较上述函数值的大小: 故有,即 证毕 9．证明:当时,有. 证：(1)令 (2),在单调增加 (3) 由,得 从而有 证毕 二、证明方程根的个数 10．证明:当时,方程仅有一个实根. 证：(1)令 单调增,故最多有一个实根 (2)是一元五次方程至少有一个实根 (3)综上所述:有且只有一个实根. 证毕 11．证明方程只有一个正根. 证(1) 单调增 故最多有一实根 (2)在连续且 ∴由零点定理知:至少有一个正根. （3）综上所述:有且仅有一个正根 12．证明方程:有且仅有两个实根. 解：(1)令 在连续且 ∴由零点定理知:在至少有一个实根 同理:=0在至少有一实根 总之, =0在至少有两个实根 (2) =0是一元二次方程,最多有两个实根． (３)综上所述：=0有且仅有两个实根 13．设常数证明方程,在内有且仅有两个正根. 证：(1)令 (x0) (2) ;令 驻点 0, 为极大值点. 由单峰原理:是最大值点 最大值 且, 故与轴有且仅有两个交点 (如示意图) 即在有 且只有两个实根. 三、 应用题（每小题10分，共50分） 14．已知曲线. （1）求曲线在横坐标为的点处的切线方程. （2）求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度. 解：(1)求切线方程:切点 切线方程: 即 (2)令 令 (3) 令 (4) 最小值 15．在半径为R的半径内作一个圆柱体,求最大体积时的底半径与高. 解：(1)画出示意图 (2)依题意,设所求圆柱体体积为V (3)求驻点 ,令, ,驻点 （4）求最值点: , 为最大值点 答:当,时,所得圆柱体体积最大 16．某客轮每小时消耗燃料的费用速度的立方正比,若该客轮从甲城到已城沿江逆流而上,设水流速度为每小时公里,求客轮最经济的速度? 解：(1)列出函数关系式:设从甲城沿江到乙城的路程为.消耗总费用为.依题意: ,其中是甲城到乙城所需要的时间 (2)求驻点: 令,驻点 (3)求最值:由实际问题的意义知道: 最小值存在,且驻点唯一,当时,客轮消耗燃料总费用最省. 17．欲做一个容积是3000的无盖圆柱形的蓄水池,已知池底单位面积造价为池壁单位面积的3倍,问蓄水池的尺寸怎样设计,才能使总造价最低? 解：(1)列出函数关系式:设池底半径为,池高为,池壁单位面积造价为元,总造价为,依题意: (2) 求驻点: 令,驻点 (3) 求最值: , 当时,总造价最省. (4) 当时, 答:当时,总造价最低. 18．从一块半径为R的圆铁片上挖去一个扇形,把留下的中心角为取多大时,做成的漏斗的容积最大? 解：(1)列出函数关系式:设漏斗体积为V 依题意:, , (2) 求驻点 令=0. ,驻点 又 (3) 求最值 由实际问题意义知道:漏斗最大容积存在,且驻点唯一,当时,漏斗的容积最大. 3