第四章多元函数微分学.docVIP

1、多元函数基本概念 1、已知函数在点(0,0)的某个邻域内连续, 且, 则(A) (03) A. 点(0, 0)不是的极值点 B. 点(0, 0)是的极大值点 C. 点(0, 0)是的极小值点 D. 无法判断点(0, 0)是否为的极值点 解: 由于, 故, 即, 根据二重极限的定义, 有, 根据极限的保号性, 一定存在的去心小邻域, 当在此邻域取值时, , 同理, 令, 则, 故也存在一个的去心小邻域, 当在此邻域取值时, . 2、多元函数微分法 设, 其中是由方程所确定的隐函数, 则 (02年天津竞赛题) 解: 方程两边对求偏导, 得到, 而 , 由方程所确定的函数在点处的全微分 （04天津竞赛题） 4、设函数由方程确定, 则 2 (04) 5、设, 且当时, , 则(01) 6、设具有二阶连续导数, 则(98) 7、函数在点处沿点A指向点方向的方向导数为(96) 8、设函数, 单位向量, 则(05) 9、函数，在点处 (04天津竞赛题） （ B ） A．可微 B. 偏导数存在 C. 连续, 但偏导数不存在 D. 不连续且偏导数不存在 10、设，其中具有二阶连续导数，则 （04天津竞赛题） 11、设函数由方程所确定, 则 (06天津竞赛题) 12、二元函数在点处的两个偏导数存在是在该点连续的 (D) (94) A. 充分条件, 而非必要条件 B. 必要条件, 而非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分条件, 也非必要条件 13、设函数, 其中函数具有二阶导数, 具有一阶导数, 则必有(B) (05) A. B. C. D. 14、已知为某函数的全微分, 则等于(D) (96) A. –1 B. 0 C. 1 D. 2 15、考虑二元函数的下面四个性质: ①在点处连续; ②在点处的两个偏导数连续; ③在点处可微; ④在点处的两个偏导数存在. 若用 “”表示可由性质P推出性质Q, 则有(A) (02) A. ②③① B. ③②① C. ③④① D. ③①④ 15、设, 其中具有二阶连续偏倒数, 具有二阶连续导数, 求 (05年天津竞赛题00研) 解: , 设函数，其中都具有一阶连续偏导数，且，求（95研） 解： 16、设是由方程和所确定的函数, 其中和分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数, 求(99考研题) 分析: 求隐函数方程所确定函数的导数的方法是对隐函数方程两边对自变量求导. 本题自变量为, 而均为的函数, 在对两个隐函数方程两边求导后, 解关于的方程组, 可同时解得. 在解题过程中分清谁是自变量, 谁是因变量. 解: 分别在和的两端对求导, 得 由此解得 17、设二元函数在有界闭区域D上可微, 在D的边界曲线上=0, 并满足, 求的表达式. (05年天津竞赛题) 解：显然满足条件。下面证明只有满足题目条件。 事实上，若不恒等于0，则至少存在一点，使得，不妨假设，同时，也必在内至少存在一点，使为在上的最大值。因为在上可微，所以必有，于是得到，然而，由题设知，因此应有，这与的假设矛盾；同理可证的情况。综上，可知在上， 18、设函数由方程所确定，其中为可微分函数，试计算，并化成最简形式。（北京1991） 解：方程两边对求偏导： 方程两边对求偏导： 可解出 经计算，可得 19、设，是可微函数，若，证明仅为的函数，其中。（北京2000） 分析：把写成球面坐标为自变量的函数，只要证明，即与无关，只与有关。 证明：，令 易见，仅是的函数。 20、设函数具有二阶连续偏导数，且，证明：对任意常数，为一直线的充分必要条件是 （2002北京） 分析：关键在于由题中的条件得到，即为线性函数，为一直线。 证：必要性显然。因为当为直线时，均为常数，故 ，从而不等式成立。 充分性。因为，故由隐函数求导公式得 代入，即有 由题设知，即即为线性函数，为一直线. 21、设有一阶连续偏导数, , . 证明: (06天津竞赛题) 解: 设, 则 , 代入原式左边, 可以得到证明. 22、设函数有连续偏导数, 且由方程所确定, 求 (02考研题) 解: 设, 则 故 而 所以 23、已知, 求 (00考研题) 解: 利用复合函数求导法计算. 同样可以求得 24、设具有二阶连续导数，且，求 答案： 25、设函数, 方程确定是的函数, 其中可微,