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工科数学分析 大课课件—11-x13 清华大学 数学科学系 刘坤林 2011-5-20 第 6 章 无穷数项级数 6 ．1 数项级数 (一) 级数的概念与性质 (二) 正项级数的判敛问题 (三) 任意项级数的判敛问题 (四) 综合例题 级数内容提要 无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，是数与函数的一种重要表示形式，也是 研究函数的一种重要方法。级数问题的基础是极限理论。数项级数、幂级数、傅里叶级 数是我们研究的三种基本级数。为了掌握好数项级数的有关内容，必须理解数项级数的 有关概念，熟练掌握级数运算的记号，掌握并运用收敛级数的基本性质及常见的判别法 （比较、比值、根式、莱布尼兹、绝对值），做到正确判断正项级数、交错级数及任意项 级数的敛散性。 6 ．1.1 数项级数基本概念 1. 定义与符号运算 ∞ { } 定义 6.1： 设 un 是一个数列，则称表达式∑un u1 +u2 +u3 +LL n 1 为一个数项级数，简称级数，其中u 称为数项级数的通项（或一般项）。 n n S n ∑uk 称为数项级数的前n 项部分和。 k 1 n 级数的部分和记号S n ∑uk 与级数一般项un 的运算关系是 k 1 S S +u ，u S −S n+1 n n+1 n n n−1 ∞ ∞ { } 定义 6.2 ： 若级数 ∑un 的部分和数列 S n 有极限，则称级数 ∑un 收敛， 极限值 n 1 n 1 ∞ lim S n S 称为此级数的和；当 lim Sn 不存在时,则称级数∑un 发散。 n→∞ n→∞ n 1 ∞ n 根据级数收敛的定义，其和为 ∑un lim ∑uk limS n S 。 n→∞ n→∞ n 1 k 1 例 6.1 几何级数(等比级数--尺度 1) 1 工科数学分析 大课课件—11-x13 清华大学 数学科学系 刘坤林 2011-5-20 ∞ axn −1 a ax ax2 L axn −1 L (a ≠0 , x ∈R) . ∑ + + + + +