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解线性方程组的直接法4.1-2.ppt
EAST CHINA INSTITUTE OF TECHNOLOGY 理学院 华长生制作 华长生制作 第四章 解线性方程组的直接法 实际中,存在大量的解线性方程组的问题。很多数值方法到最后也会涉及到线性方程组的求解问题:如样条插值的M和m关系式,曲线拟合的法方程等问题。 对线性方程组: 或者: 我们有Gramer法则:当且仅当 时,有唯一的解,而且解为: 但Gramer法则不能用于计算方程组的解,如n=100, 1033次/秒的计算机要算10120年 ①直接法:准确,可靠,理论上得到的解是精确的 ②迭代法:速度快,但有误差 本章讲解直接法 解线性方程组的两类方法: 直接法: 经过有限次运算后可求得方程组精确解的方法(不计舍入误差!) 迭代法:从解的某个近似值出发,通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。(一般有限步内得不到精确解) 4.1 直接法和三角形方程组求解 4.2 Gauss消去法 4.3 Gauss列主元消去法 4.4 直接三角分解法 4.5 平方根法 4.6 追赶法(Thomas法) 本章研究内容 本章要点 线性方程组的解法类型之一 :直接解法 主要归结为三角形方程组的求解。 包括一般线性方程组的Gauss消去法、 Gauss列主元法、对称正定方程组的平 方根法、三对角方程组的追赶法等 涉及到一些三角分解:主要有Doolittle 分解、Crout分解、Cholesky(乔利斯基) 分解等 4.1 直接法和三角形方程组求解 实际问题中的线性方程组分类: 按系数矩阵中 零元素的个数: 稠密线性 方程组 稀疏线性 方程组 按未知量 的个数: 高阶线性 方程组 低阶线性 方程组 (如1000) (80%) 按系数矩 阵的形状 对称正定 方程组 三角形 方程组 三对角占 优方程组 一、直接法概述 直接法是将原方程组化为一个或若干个三角形 方程组的方法,共有若干种. 对于线性方程组 其中 系数矩阵 未知量向量 常数项 ------------(1) 根据Cramer(克莱姆)法则,若 行列式的记号 若用初等变换法求解,则对其增广矩阵作行初等变换: 经过n-1次 同解 即 以上求解线性方程组的方法称为Gauss消元法 则 都是三角 形方程组 上述方法称为直接三角形分解法 ------------(2) 不论是Gauss消去法还是直接三角形分解法, 最都归结为解三角形方程组 二、三角形线性方程组的解法 若记 下三角形线性方程组 上三角形线性方程组 即 回代方向 其解为 其解为: 回 代 方 向 对方程组,作如下的变换,解不变 ①交换两个方程的次序 ②一个方程的两边同时乘以一个非0的数 ③一个方程的两边同时乘以一个非0数,加到另一个方程 因此,对应的增广矩阵(A,b),作如下的变换,解不变 ①交换矩阵的两行 ②某一行乘以一个非0的数 ③某一个乘以一个非0数,加到另一行 4.2 Gauss消去法 一、消元与回代计算 对线性方程组 对其增广矩阵施行行初等变换: 定义行乘数 变化 后的 矩阵 为: 定义行乘数 则 * *
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