数值分析03-线性方程组直接解法2.ppt

阜师院数科院 第三章 线性方程组 直接解法 第三章目录 线性方程组的概念 线性方程组的概念（续） 线性方程组的数值解法 §1 Gauss消元法 例1（续） Gauss消元法的基本步骤1（4阶） Gauss消元法的基本步骤2（4阶） Gauss消元法的基本步骤3（4阶） Gauss消元法的基本步骤4（4阶） Gauss消元法的消元过程1、2（n阶） Gauss消元法的消元过程3（n阶） Gauss消元法的消元过程3（n阶） Gauss消元法的回代过程（n阶） Gauss消元法的计算量 Gauss法与Cramer法则的计算量比较 §2 主元素法 例2（续1） 例2（续2） 例2两种解法的误差分析 2.2 列主元素法 列主元素法 2.3 全主元素法 主元素法举例 2.4 解三对角方程组的追赶法 追赶法的解题步骤 追赶法举例 §3 矩阵分解法 Gauss消元法的矩阵形式 Gauss消元法的矩阵形式（续） 杜利特尔（Doolittle）分解——LU分解 3.2 矩阵的三角分解 对A进行LU分解 对A进行LU分解 （i 行j 列） 对A进行LU分解的具体步骤 矩阵A的LU分解举例 三角分解的紧凑格式 三角分解的紧凑格式 三角分解的紧凑格式举例 3.3 直接三角分解法 直接三角分解法（续） 紧凑格式解线性方程组举例 紧凑格式解线性方程组举例（续） 三角分解法的几点说明 三角分解法的几点说明（续） §4 平方根法与改进的平方根法 4.1 平方根法 定理 3.2（续） Choleskg分解1 Choleskg分解2 平方根法举例 4.2 改进的平方根法 改进的平方根法说明 改进的平方根法举例 §5 Gauss-Jordan消元法求矩阵的逆 Gauss-Jordan消元法求矩阵的逆（续1） Gauss-Jordan消元法求矩阵的逆（续2） Gauss-Jordan消元法求矩阵的逆（续3） Gauss-Jordan消元法求逆阵(续4) Gauss-Jordan消元法求逆阵(续5) Gauss-Jordan消元法求逆阵(续6) Gauss-Jordan消元法求逆阵(续7) Gauss-Jordan消元法求逆阵(续8) Gauss-Jordan法求逆阵的具体步骤 Gauss-Jordan法求逆阵的具体步骤（续） Gauss-Jordan法求逆阵举例 §6 方程组的性态与条件数 6.1 向量与矩阵的范数 常用的向量范数 对2范数 Rn中范数的等价性 向量的误差 矩阵范数 常用的矩阵范数 常用的矩阵范数（续） 最大行和矩阵范数的证明 最大行和矩阵范数的证明（续） 范数的相容性 求范数举例 6.2 舍入误差的影响及算法的稳定性 6.3 方程组的性态和条件数 方程组的性态和条件数（续1） 方程组的性态和条件数（续2） 方程组的性态讨论 ——病态、良态 方程组的性态讨论 ——病态、良态（续） 方程组的性态讨论（续2） 方程组的性态讨论（续3） 方程组的性态讨论续（3） 方程组的性态讨论续（4） 矩阵的条件数 判断病态矩阵的几点参考 利用条件数判断矩阵的性态举例 第三章 结 束 定理3.1存在性证明 定理3.1唯一性证明 设经过k – 1 步后得到 ： 1 … … 其中： 完成n步消元后，A?1放在原A的位置。 按上述紧缩存贮原则，可节省存贮单元，同时还使得整个计算更简单了。可总结求逆步骤如下： 上述1，2是求第k列元素，构成Mk（即求主列） （计算其他元素，但少k列，k行） 用上述Gauss-Jordan法求逆阵，计算量约 为n3，是Gauss消元法的3倍，为保证方法稳 定性，还可选列主元，若仍按上述紧缩存贮 原则，则最后需按行交换的相反次序作列交 换才能得到A?1。 例9 解： 按紧缩存贮方式，逐次计算结果与存贮如下： 第一步：k = 1，在第一列中选主元，交换1，2行，得： 第二步： k = 2在第二列对角元下选主元，交换2，3行由1，2先计算第2列，由3计算其他元素（除2列2行外）而由4计算剩下的第2行的元素（这里k=2的第2列第行称为主列，主行） 第三步：k = 3以a33=1/6为主元，消元后得： 交换2、3列 最后：按行交换的相反次序进行列交换：先交换2，3列，再 交换1，2列得A?1。 交换1，2列 无论用哪种方法求解线性方程组，一般情况下都会产生误差，本节讨论线性方程组解的误差。 方程组的解为一组数，称为解向量，近似解向量与准确解向量之差称为误差向量，为了估计误差向量的大小，以及 在迭代法讨论收