第4章-导热问题的数值解法.ppt

取 * * 显式法的一个缺点是它不是无条件稳定的。对于一个瞬态问题，随着时间的增加，各个节点的温度的解应是连续的趋向于最终的(稳态)值。然而，利用显式法，其解有可能会发生数值上的振荡，而这在物理上是不可能的 * 对于非稳态条件下，稳定性条件不仅要求主对角占优，同时，t(i,m)前的系数必须大于等于零 * 在i时层的温度已知 x y qw 为了求解方便，将第二类边界条件及第三类边界条件合并起来考虑，用qw表示边界上的热流密度或热流密度表达式。为使结果更具一般性，假设物体具有内热源Φ( 不必均匀分布 ) 。 边界节点 (m,n) 只代表半个元体，若边界上有向该元体传递的热流密度为qw ，据能量守恒定律： 4.3.1 边界节点离散方程的建立 (1) 平直边界上的节点 qw x y qw (2) 外部角点 如图所示，外角点仅代表 1/4 个以 为边长的元体。假设边界上有向该元体传递的热流密度为 ，则据能量守恒定律得其热平衡式为： x y qw (3) 内部角点 内部角点代表了 3/4 个元体，在同样的假设条件下 x y qw 讨论关于边界热流密度的三种情况： （1）绝热边界 即令上式 即可。 （2） 值不为零 （3）对流边界 此时 ，将此表达式代入上述方程，并将此项中的 与等号前的 合并。 对于 的情形有： 流入元体， 取正，流出元体， 取负 （a）平直边界 （b）外部角点 （c）内部角点 4.3.2 处理不规则区域的阶梯型逼进法 当计算区域出现曲线边界或倾斜边界时，常常采用阶梯形的折线来模拟真实边界，然后用上述方法建立边界节点的离散方程。 一个大的工业炉由一根很长的耐火黏土砖柱支撑，其截面尺寸为1m×1m。在稳定运行时，柱子的三个表面保持在500K，另一个表面暴露在300K，h=10W/㎡·K的空气流中。利用Δx=Δy=0.25m的网格，确定柱中的二维温度分布及单位长度柱子对空气的散热速率。 4.3.3 代数方程的求解方法 2）迭代法：先对要计算的场作出假设（设定初场），在迭代计算中不断予以改进，直到计算前的假定值与计算结果相差小于允许值为止的方法，称迭代计算收敛。 1）直接解法：通过有限次运算获得精确解的方法，如：矩阵求解，高斯消元法。 2 迭代法目前应用较多的是： 1 ）雅可比迭代法（简单迭代）：每次迭代计算，均用上一次迭代计算出的值。 2 ）高斯——赛德尔迭代法：每次迭代计算，均是使用节点温度的必威体育精装版值。 在计算后面的节点温度时应按下式（采用必威体育精装版值） 例如：根据第 k 次迭代的数值 可以求得节点温度： 设有一三元方程组： 其中 （ i=1,2,3 ； j=1,2,3 ）及 是已知的系数（均不为零）及常数。 采用高斯——赛德尔迭代法的步骤： （1）将三元方程变形为迭式方程： （2）假设一组解（迭代初场），记为： 并代入迭代方程求得第一 次 解 每次计算均用必威体育精装版值代入。 （3）以新的初场重复计算，直到相邻两次迭代值之差小于允许值，则称迭代收敛，计算终止。 判断迭代是否收敛的准则： k及k+1表示迭代次数； —第k次迭代得到的最大值 当有接近于零的t 时，第三个较好 迭代能否收敛的判据 1 ）对于一个代数方程组，若选用的迭代方式不合适，有可能导致发散，即称迭代过程发散； 2 ）对于常物性导热问题，组成的差分方程组，迭代公式的选择应使一个迭代变量的系数总是大于或等于该式中其他变量系数绝对值的代数和，此时，结果一定收敛。 3 ）采用热平衡法导出差分方程时，若每一个方程都选用导出该方程中心节点的温度作为迭代变量，则上述条件必满足，迭代一定收敛。 这一条件数学上称主对角线占优（对角占优）； 1、重新排列矩阵，使得对角线上元素的系数比同行其他元素系数的绝对值代数和大； 2、把每个方程写出对角线元素的迭代方程； 3、合理估计选择迭代初值； 4、不断用元素的必威体育精装版值迭代计算； 5、满足预定的收敛判据时，迭代完成。 步骤： §4-3 非稳态导热问题的数值解法 非稳态导热与稳态导热的主要区别：温度不仅随空间变化，还随时间变化，控制方程中多一个非稳态项 能量平衡特点：网格单元不仅与相邻的网格单元之间有热量的导入或导出，单元本身的热力学能也随时间发生变化 下面用一维、有内热源、常物性的非稳态导热问题为例给出非稳态项的处理方法 一维、有内热源、常物性的非稳态导热问