ch2_11函数的极值与最大最小值.ppt

自学例题 解 要使用料最省，即要圆桶的全面积最小．圆桶的全面积为 第十节 函数的极值与最大、最小值 第二章 一元函数微分学 本节要点 本节引入函数极的概念值，并通过函数的一阶及二阶导函数的符号去讨论函数的极值情况. 一、函数的极值及其求法 二、函数的最大值、最小值及其求法 三、应用 定义 设函数 在点 的某个邻域 内有定 义，如果对任意的 有 或 则称 是函数 的一个极大值（极小值）, 点 是 的一个极大值点（极小值点）；极大值和极 小值通称为极值；极大值点和极小值点通称为极值点. 一、函数的极值及其求法 注意：函数的极大（小）值是函数在局部范围内的最大（小）值，或称为相对最大（小）值。 极小值 极大值 在本章的第五节中，费马定理指出: 如果函数 可导，并且点 是它的极值点，那么点 是它的驻 点，即 ，但是函数的驻点未必是它的极值点. 例如函数 但 不是函数的极 值点. 如果函数 在 处不可导，则 也有可能是它 的极值点，例如 在 处不可导，但 是极小值点。 可见，函数的极值点是函数的驻点或不可导点，反之不然. 函数的驻点和不可导点称为可疑极值点。 定理1（判断法一，第一充分条件） 设函数 在点 处连续，在 处的某个去心邻域 内可导； ⑴若 时， 而 时 则 在点 处取极大值； （左升右降） ⑵若 时， 而 时 则 在点 处取极小值； （左降右升） 若在 的两侧， 的是异号的，则 是极值，即 (3)若 时， 的符号不变，则 不是 的极值点. 情形 1 情形 2 情形 3 根据上面的定理，若函数 在定义域内连续，且 至多除了某些点外处处可导，则可以按照下面的步骤 求出函数的极值: ⑴求出导函数 进而求出 的全部驻点和不 可导点； ⑵根据导数 在每个驻点和不可导点的左、右邻 近是否变号，确定该点是否为极值点，如果是极值点， 进一步确定确定是极大值还是极小值. ⑶在极值点求出相应的函数值，就得到函数的极值. 函数在 处取极小值，极小值为 例1 求函数 的极值. 解 所以函数在 处取极大值，极大值为 例2 求函数 的极值。 解 在上节中，我们知道函数 在 中连续，在 中可导，且 no 可见 是函数的极大值； 是函数的极小值. 极小值 极大值 例3 求函数 的极值. 解 函数在