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医学信号处理—第四章 信号检测 主要解决在受噪声干扰的观测x中判断信号是否存在的问题。 例如：判断观测数据x(t)=s(t)+n(t) （即假设H1：x中既有信号又有噪声。）还是 x(t)=n(t) （假设H0：x中只有噪声没有信号）? x(t)----观测信号 n(t)----噪声 s(t)----有用信号 §1.2 信号检测的概率描述 两种假设：H1（目标存在），H0 （目标不存在） 先验概率：P(H0), P(H1) 条件先验概率：某一假设（H0、H1）下观察值的概率， p(x|H0), p(x|H1) 。 判决结果： H0假设为真，判决H0（正确） ----P(D0|H0) H1假设为真，判决H0（漏警） ----PM=P(D0|H1) H0假设为真，判决H1（虚警） ----PF=P(D1|H0) H1假设为真，判决H1（正确） ----P(D1|H1) 似然比准则——极大后验概率准则 最小错误概率准则 Bayes判决准则 极大极小准则 Neyman –Pearson准则 以下假设为单次观察，二元检测，所含信号为已知。 问题的提出：观察x=s+n。 假设为H0：x中无信号，x=n；H1：x中有信号s， x=s+n 。 已知：P(H0)、 P(H1)及噪声的概率密度函数p(n)。 做单次观察，x=x1，判断结果属于H1还是H0。 因为最大后验概率准则可以使平均错误概率最小，所以又称为最小错误概率准则。 最大后验概率准则只是使错误概率最小，并没有考虑两类错误判决所造成的损失大小，或者说，认为两类错误判决所花的代价或风险是相同的。在很多实际应用中，两类错误所造成的损失是很不一样的。为了区分这两类错误所造成的损失程度，我们引入代价函数Cij来表示实际是Hi假设为真而判决为Hj假设所付出的代价。代价函数也叫风险函数。 所以：贝叶斯准则实际就是最小错误率准则的推广，不过通过引入代价函数把不同判断结果要付出的代价考虑在内。 目标：使平均风险E[C]最小。 应用条件——先验概率和代价函数均未知。 前面的最小错误概率准则和贝叶斯准则都是假设先验概率或代价函数已知为前提条件，在实际中，这些条件往往不具备，这时可采用纽曼-皮尔逊准则。 纽曼-皮尔逊准则——在给定虚警概率PF ，使检测概率PD尽可能大（漏报概率PM=1-PD尽可能小）的条件下研究判决准则。 数学推导 应用Lagrange 乘子?，构造下列目标函数： 在许多情况下，先验概率未知。便不能采用贝叶斯准则。 假定P(H0)＝q未知，则P(H1)=1-q。令 则Bayes风险为 R(q)min=[C00(1-α(q))+C10α(q)]q+ [C01β(q)+C11(1-β(q))](1-q) =C00q+C11(1-q)+(C10-C00)α(q)q+ (C01- C11)β(q)(1-q） 图中，曲线为Bayes风险曲线 ，过某点所做直线为先验概率变化时的R(q)min取值，由于当条件概率和风险已知时，R(q)min为先验概率的线性函数。 当先验概率未知时，我们选择使R(q)min达到最大值的先验概率q0作为估计值来设计Bayes检验。此时的风险不一定是最小的，但却是最保险的（不会超过R(q)min的最大值）。 第三节 多次观察 对于多次观察，判决公式与上一节单次观察的判决公式基本相同，只须用多维概率密度函数代替公式中的一维概率密度函数，或者以观察矢量X=[x1,x2,…,xn]代替观察值x。 （1）最小失误概率准则和极大后验概率准则： * 医学信息工程《医学信号处理》 §1.1 信号检测（Detections）的基本任务 第一节 概述 把观测x和某些关于概率密度函数的先验知识结合起来，再依据某种判决准则，对假设进行判断。 观察x 判决准则 备择假设 H1~HM 先验概率知识 x∈Hi 信号检测的数学基础：数理统计中的统计判决理论（假设检验理论） x中有信号 x中无信号 后验概率：P (H1| x), P (H0| x) 总失误率：PE= P(D1|H0) P(H0)+ P(D0|H1) P(H1) 检测概率： PD=1- PM=1-P(D0|H1) 仅仅根据检测概率PD和PM说明判断的优劣，未必客观。比如，如果不管是否有信号，都判断为“有”，则必有P(D0|H1) =0，因而PD=1，但这时总失误率PE也不低。 §