6.5 函数的极值与最值.ppt

* 例 解 目标函数 得 2. 应用举例 (1) (2) 求最大值点 半径为R. 求内接于球的圆柱体的最大体积, 设球的 设圆柱体的高为2h , 底半径为r, 体积为V , * 圆柱体的最大体积一定存在, 故唯一驻点 就是最大值点, 最大体积为 令 得 (舍去负值) 唯一驻点 函数的极值与最大值最小值 * 例 解 某厂生产的产品年销售量为100万件. 假设 (1)这些产品分成若干批生产,每批需生产准备1000 元(与批量大小无关); (2) 产品均匀销售(即产品的平 均库存量为批量的一半), 且每件产品库存一年需库 存费0.05元. 试求使每年生产准备费与库存费之和为最小的 最佳批量(称为经济批量). 设每年生产准备费与库存费之和为C, 批量 为x, 则 * 由 得唯一驻点 因为这是实际问题, 批量为20万件. 一定存在最小值, 故最佳 库存在正常生产经营活动中是不可避免的. 但库存太多会使资金积压, 库存变质会造成浪费. 因此, 确定最优(或最适当)的库存量是很重要的. * 例 解 如图, 设所求切点为 P(x0, y0), 则切线PT为 由直线 及抛物线 围成一 个曲边三角形, 在曲边 上求一点, 使曲线在 该点处的切线与直线 所围成的三角形 面积最大. * 解得 唯一驻点 令 因这样的面积有最大值, 为所求. 为所有三角形中面积的最大值. (舍去). * 三、小结 极大值可能小于极小值, 函数的极值必在驻点和导数不存在的点取得. 极值的判别法 第一充分条件; (合适选择好 极值:局部性概念; 极小值可能大于极 极值与最值的区别 最值: 整体性概念. 实际问题求最值的步骤. 第二充分条件, 用哪个充分条件可简化计算、注意使用条件). 大值. * 思考题 证 设 令 得 分析 求其在[0, a]上的最大值. 常数 * 得 在端点 是函数的唯一的驻点, 所以 必是f 在[0, a]上的最大值, 所以不等式成立. 0 且使函数取正值. * 也是最小值. 考研数学(二)12分 讨论曲线 与 的交点个数. 解 问题等价于讨论方程 有几个不同的实根. 设 则有 是f (x)的驻点. 即f (x)单调减少; 即f (x)单调增加, 故 为函数 f (x)的极小值 无实根, 即两条曲线无交点. 有唯一实根, 即两条曲线只有一个交点. 由于 故 有两个实根, 分别位于 即两条曲线有两个交点. * 作业 习题6.5(228页) 6.5 函数的极值与最大值最小值 6.5 函数的极值与最大值最小值 6.5 函数的极值与最大值最小值 * 函数的极值及其求法 小结 思考题 作业 最大值最小值问题 6.5 函数的极值与 最大值最小值 (extreme value) 第6章 微分中值定理与导数的应用 * 定义6.2 极大值 (或极小值), 函数的极大值与极小值统称为 极值. 极值点. 极小值(minimal value) 极大值(maximal value) 一、函数的极值及其求法 1. 函数极值的定义 使函数取得极值的点x0(自变量)称为 若在x0的某邻域内, 恒有 则称 f (x0)为函数f (x)的一个 * 函数的极大值、极小值 是局部性的. 在一个区间内, 函数可能存在许多个极值, 最大值与最小值, 有的极小值可能大 于某个极大值. 只是一点附近的 * 注 如, (1) 驻点. 可导函数的极值点 的驻点却不一定是极值点. 但函数 必是驻点, 费马引理 那么 如果函数 f (x)在x0处可导, 且 f (x)在x0处取得极值, 2. 极值的必要条件 这是可导函数取得极值的必要条件. * 极值点也可能是导数不存在的点. 如, 但 怎样从驻点中与导数不存在的点判断一点 单减的分界点, (2) 不可导. 是极小值点. 是不是极值点 若 x0 是连续函数 f (x) 单增、 则 x0必为极值点. 几何上, * 定理6.10(第一充分条件) 则 f (x0)为极大值 则 f (x0)不是极值. (极小值); 极值的一阶充分条件 3. 极值的充分条件 设 f (x)在x0点连续, 且在x0的某去心邻域 * 一般求极值的步骤 求导数; 求驻点与不可导点; 求相应区间的导数符号, 判别增减性; 求极值. (1) (2) (3) (4) 不是极值点 * 例 解 (1) (2) 驻点: 导数不存在的点: (3) 列表. 求相应区间的导数符号, 判别增减性, 确定极值点和极值. * 非极值 极小值 不存在 极大值 驻点: 导数不存在的点: 单调增加区间: 单调减少区间: * f (x)在点x0处取极大值. 定理6.11(第二充分条件) 证 极大值 (极小值). 极值的二阶充分条